形式证明作为路径
形式证明系统定义了一组公理和推理规则。每个定理证明程序都在这个系统中进行搜索：从给定的前提开始，应用推理规则生成新声明，直到到达目标。
将其表示为一个有向图：
节点：形式系统中的合理声明。
边：推理规则的单个应用（模棱推理、SAS同构等）。
证明：从给定的前提到所需结论的有向路径。
证明长度：路径中的推理步骤数量。
一个定理的最短证明对应于这个图中前提节点和结论节点之间的最短路径。
几何定理证明程序通过：（1）直接应用规则；（2）如果卡住，引入辅助构造（这将在搜索中添加新的节点）。该程序通过避免辅助构造找到自同构证明——一个更短的路径存在，古典方法所忽略。
证明长度与证明搜索
证明搜索面临与游戏树搜索相同的指数增长。每个节点的分支因子等于可应用推理规则的数量。证明深度随着定理复杂性而增长。
定理证明程序使用启发式方法来修剪证明空间，类似于在游戏中使用alpha-beta剪枝。
点、线与对偶性
几何程序的自我对称性证明中，等边三角形定理使用了一种不出现在经典欧几里得证明中的观点。洞见：不需要将三角形ABC与一个构造的第二个三角形进行比较，而是将ABC与自己进行比较，将基准顶点互换——对应A↔A，B↔C，C↔B。
这是一种几何对称性论证：等边三角形在顶点的高上对称映射下是对称的。程序没有显式构造反射影，但使用了对应关系作为一个抽象。
这一原则的总体原则是投影对偶性：在投影平面中，对于点和线的每个定理，都可以通过将‘点’和‘线’全都替换为另一个字词得到一个对偶定理。
对偶性词典：
- 点 ↔ 线
- 点在线上 ↔ 线通过点
- 两个点确定一个唯一的线 ↔ 两个线确定一个唯一的点
- 直线上的点 ↔ 互相交的线
一个关于点的定理的单个证明自动产生一个关于线的对偶定理——反之亦然。两个证明具有相同的结构、相同的长度和相同的推理步骤。找到对偶观点往往会揭示出原始定理的更简单的证明。
应用对偶性
德萨尔定理：如果两个三角形从一个点的视角相互关联（相应顶点通过的三条线在一个点相交），那么它们也从一条线的视角相互关联（相应边的交点都在一条线上)。
这个定理是自对偶的：交换点和线给出完全相同的定理陈述。
采样率与频率空间
贝尔实验室的计算音乐系统依赖于一个数学定理：Nyquist-Shannon采样定理。
声明：带限频率信号最高频率为f_max，可以从每秒采样率至少为2×f_max的采样中完美重构。
几何解释：带限频率信号在所有连续函数空间的有限维子空间中生活。以2f_max的采样率提供足够的坐标，以唯一地确定该子空间中的一个点。
伪影：采样失败的几何
在 Nyquist 速率以下，频率高于 f_max 的频率会产生别名——它们在采样后的信号中以较低的频率出现。两个不同的信号在采样后将无法区分。几何上：采样操作将信号空间投影到一个低维空间中，使不同信号发生碰撞。
对于数字音频（CD 质量）：f_max = 22,050 Hz（略高于 20,000 Hz 的人类听觉限制），采样率 = 44,100 个样本/秒。对于电话：f_max = 4,000 Hz，采样率 = 8,000 个样本/秒。
Nyquist 速率计算
Nyquist 定理确定了避免信息丢失所需的最小采样率。
证明空间与信号空间：共享几何
证明路径和 Nyquist 采样定理共享一种共同的几何结构：两者都涉及将复杂事物的最小表示进行找到。
证明简化：在证明图中从前提到结论的最短路径（最少推理步骤）。自洽证明通过利用对称性简化了路径长度。
信号采样：找到最小采样数（最低采样率），以保留带限信号中的所有信息。纽奎斯特定理通过利用带宽限制来最小化表示。
这两个问题都存在结构，使得最小表示结果成为可能。然而，当这种结构失效时，这两个问题就会出现问题：证明变得更长，当前提空间不够整洁时；当信号不是带限信号时，会出现抖动现象。