बिन्दु, रेखाएँ और ड्यूलिटी

ईक्लीडियन प्रमाणों की तुलना में ज्यामिति कार्यक्रम का आत्म-सम्बन्धी प्रमाण इसोसील्स त्रिभुज सिद्धांत का उपयोग करता है। इस दृष्टिकोण को क्लासिकल यूक्लीडियन प्रमाणों में नहीं पाया जाता है। विचार: त्रिभुज ABC को दूसरे निर्मित त्रिभुज के साथ तुलना करने के बजाय, आधार बिन्दुओं को स्वैप करके ABC को स्वयं के साथ तुलना करें - संबंध A ↔ A, B ↔ C, C ↔ B।

यह एक ज्यामितीय सिम्मेट्री तर्क है: त्रिभुज का तिर्यक बिन्दु त्रिभुज सिम्मेट्रिक होता है। कार्यक्रम ने विमान की चमक को निर्मित नहीं किया; इसने संबंध को एक संकेतक के रूप में उपयोग किया।

इसके पीछे का सामान्य सिद्धांत प्रोजेक्टिव ड्यूलिटी है: प्रोजेक्टिव योजना में, बिन्दुओं और रेखाओं के बारे में हर सिद्धांत का एक डुअल सिद्धांत प्राप्त किया जा सकता है, जो शब्द 'बिन्दु' और 'रेखा' को पूरे योजना में स्वैप करके प्राप्त किया जाता है।

ड्यूलिटी शब्दकोष:

- बिन्दु ↔ रेखा

- बिन्दु रेखा पर स्थित होता है ↔ रेखा बिन्दु से गुजरती है।

- दो बिन्दु एक अनुक्रमिक रेखा निर्धारित करते हैं ↔ दो रेखाएँ एक अनुक्रमिक बिन्दु निर्धारित करती हैं।

- सीधे बिन्दु ↔ समानांतर रेखाएँ

पॉइंट्स के बारे में एक सिद्धांत का प्रमाण प्राप्त करने से लाइन्स के बारे में डुअल सिद्धांत का प्रमाण प्राप्त होता है - और इसके विपरीत। दो प्रमाणों की समान संरचना, समान लंबाई और समान निष्कर्ष चरण होते हैं। डुअल दृष्टिकोण को खोजने से अक्सर मूल के सिंपल प्रमाण का खुलासा होता है।

ड्यूलिटी का अनुप्रयोग

देसार्ज्स का सिद्धांत: यदि दो त्रिभुज एक बिन्दु से परस्पेक्टिव होते हैं (सम्बन्धित कोणों के माध्यम से जाने वाली तीन रेखाएँ सभी एक ही बिन्दु पर मिलती हैं), तो वे एक रेखा से भी परस्पेक्टिव होते हैं (सम्बन्धित भुजाओं के व्याप्ति बिन्दु सभी एक ही रेखा पर स्थित होते हैं।)

यह सिद्धांत स्वयं-द्वंद्ववादी होता है: स्थान और रेखा को बदलने पर सिद्धांत कथन का वही दोहराव मिलता है।

सैंपलिंग रेट & सsignalsफ्रीक्वेंसी स्पेस

बेल लैब्स की कंप्यूटर म्यूजिक सिस्टम एक गणितीय सिद्धांत पर आधारित थी: न्यूक्विस्ट-शानोन सैंपलिंग सिद्धांत।

घोषणा: एक सीमित-चक्र सिग्नल जिसका अधिकतम आवृत्ति f_max हो, उसे 2 × f_max नमूना प्रति सेकंड में लेने से पूर्णतया पुनर्निर्मित किया जा सकता है।

ज्यामितीय व्याख्या: एक सीमित-चक्र सिग्नल सभी ongoingतत्सम संचरणों के स्थान का एक सीमित-आयामी उपसमुच्चय में रहता है। 2f_max की दर पर सैंपलिंग प्रदान करता है कि उस उपसमुच्चय के उस स्थान के एकमात्र बिन्दु को अनूठी रूप से पहचान सकता है।

फेलियर: सैंपलिंग की ज्यामिति

न्यक्विस्ट रेट के नीचे, आवृत्तियाँ f_max से अधिक होती हैं - वे नमूनीकृत संकेत में निम्न आवृत्ति के रूप में दिखाई देते हैं। नमूनाकरण के बाद दो विभिन्न संकेतों को अलग करना संभव नहीं हो पाता। ज्योमेट्रिक रूप से: नमूनाकरण संचालक संकेतों के अंतरिक्ष को निम्न-आयामी अंतरिक्ष पर प्रक्षेपित करता है, जिससे विभिन्न संकेत आपस में भिड़ते हैं।

डिजिटल ऑडियो (सीडी गुणवत्ता) के लिए: f_max = 22,050 Hz (20,000 Hz इंसानी सुनने के सीमा से थोडा अधिक), नमूना दर = 44,100 नमूने/सेकंड। टेलीफोन के लिए: f_max = 4,000 Hz, नमूना दर = 8,000 नमूने/सेकंड।

न्यक्विस्ट रेट के गणना

न्यक्विस्ट सिद्धांत न्यूनतम नमूना दर की आवश्यकता को निर्धारित करता है जिससे जानकारी का कोई नुकसान न हो।

प्रमाण-चक्र और संकेत-चक्र: साझा ज्यामिति

प्रमाण-मार्ग और न्यक्विस्ट नमूनाकरण सिद्धांत दोनों एक सामान ज्यामितीय संरचना को साझा करते हैं: दोनों में कुछ जटिल का न्यूनतम प्रतिनिधित्व ढूंढना शामिल है।

सिद्धांत सीमांकन: सिद्धांत ग्राफ से सूत्रों से निष्कर्ष तक सबसे छोटे मार्ग (कम से कम निर्णय चरण) पाएं। स्व-संगत सिद्धांत सीमांकन मार्ग लंबाई सिमेट्री का लाभ लेते हुए कम करता है।

संकेत नमूनाकरण: एक बैंडलिमिटेड संकेत में सभी जानकारी संरक्षित करते हुए न्यूनतम संख्या के नमूने (निम्नतम नमूना दर) पाएं। न्यूटन का सिद्धांत बैंडविड्थ सीमा का लाभ लेते हुए प्रतिनिधित्व को कम करता है।

दोनों समस्याएँ उस स्थान में रहती हैं जिसमें उस संरचना की अनुमति है जो न्यूनतम-प्रतिनिधित्व परिणामों को सक्षम करती है। दोनों मामलों में संरचना का विघटन: सिद्धांत लंबे होते हैं जब अधिकार क्षेत्र अच्छी तरह से संगठित नहीं होता है; प्रतिलोमीकरण होता है जब संकेत बैंडलिमिटेड नहीं होता है।