Формальні докази як шляхі
Система формальних доказів визначає набір аксіом та правил висновування. Кожен програма для доведення теорем перебирає цей набір як пошукову проблему: починаючи з даних припущень, застосовувати правила висновування для створення нових висловлювань, поки не досягнете мети.
Представте це як зdirectedграф:
Ноди: правильно сформульовані висловлювання у формальній системі.
Ребра: одноразові застосування правил висновування (modus ponens, SAS конгруенція тощо.).
Доведення: зdirected шлях від припущень до бажаного висновку.
Довжина доказу: кількість кроків висновування в цьому шляху.
Короткий доказ теореми відповідає короткому шляху між вузлом припущення та вузлом висновку в цьому графі.
Програма з геометричних доказів досліджувала цей граф за допомогою: (1) прямого застосування правил; (2) якщо змушені, вводити допоміжні конструкції (що додають нові вузли до пошуку). Програма знайшла самозв'язувальний доказ, уникнувши допоміжної конструкції - короткий шлях існував, який класична методика пропустила.
Довжина доказу та пошук доказу
Пошук доказів стикається з тією ж експоненціальною ростом, що й пошук у гральному дереві. Брандмауер на кожному вузлі дорівнює кількості застосувань прикладних правил висновування. Глибина доказів росте з складністю теорем.
Програма для доведення теорем використовувала гіперекції для обрізання простору доказів, аналогічно альфа-бета обрізуванню у грі.
Точки, прямі та двоїстість
Доведення самозвідувальної геометричної програми твердження про рівносторонній трикутник використовує перспективу, яка не з'являється в класичних евклідових доведеннях. Мудрість: замість порівняння трикутника ABC з другим побудованим трикутником, порівняйте ABC з собою, коли базові вершини обмінялися - відповідність A↔A, B↔C, C↔B.
Це геометричний симетричний аргумент: рівносторонній трикутник симетричний відображенню по висоті від вершини. Програма не будувала відображення явно; вона використовувала відповідність як абстракцію.
Цей загальний принцип називається проективною двоїстістю: в проективній площині кожне твердження про точки та прямі має двоїсте твердження, яке отримується заміною слів 'точка' та 'пряма'.
Словник двоїстості:
- Точка ↔ Пряма
- Точка лежить на прямій ↔ Пряма проходить через точку
- Два точки визначають унікальну прямую ↔ Два прямі визначають унікальну точку
- Колінейні точки ↔ Перетинні прямі
Одне доведення твердження про точки автоматично дає доведення двоїстого твердження про прямі - і навпаки. Двоє доведень мають таку саму структуру, таку саму довжину та такі самі кроки логічного висновку. Отримання двоїстої перспективи часто відкриває простіше доведення оригіналу.
Застосування двоїстості
Теорема Дезаржа: Якщо два трикутника знаходяться в перспективі з точки (три лінії, що проходять через відповідні верхівки, зустрічаються в одній точці), то вони знаходяться в перспективі з лінії (три перетини відповідних сторін лежать на одній лінії).
Ця теорема самодвійна: заміна точок і ліній дає точно ту саму формула заяви.
Sampling Rate & Frequency Space
Система комп'ютерної музики в Bell Labs базувалася на одному математичному твердженні: теоремі Ніквіста-Шеннона про зразки.
Стаття: обмежена сигнал, з максимальною частотою f_max, можна повністю відбудувати з зразків, взятих зі швидкістю принаймні 2 × f_max зразків на секунду.
Геометричне тлумачення: обмежена сигнал живиться в кінематичному підпросторі простору всіх неперервних функцій. Отримання зразків зі швидкістю 2f_max надає достатньо координат, щоб унікально ідентифікувати точку в цьому підпросторі.
Аліасинг: Геометрія невдачі зразків
Понизу від Nyquist, частоти вище f_max аліасують - вони з'являються як нижчі частоти у зразку, зразкованому. Дві відмінні сигнали стають непізнаваними після зразковування. Геометрично: оператор зразковування проєктує простір сигналів на нижчедименційний простір, викликаючи різні сигнали зіткнутися.
Для цифрового аудіо (якщо на CD): f_max = 22,050 Гц (слightly вище 20,000 Гц, межі людського слуху), швидкість зразковування = 44,100 зразків/секунду. Для телефону: f_max = 4,000 Гц, швидкість зразковування = 8,000 зразків/секунду.
Перевірки Nyquist Rate
Теорема Nyquist визначає мінімальну швидкість зразковування, необхідну для уникнення втрат інформації.
Доведення Простору та Простору Сигналу: Спільна Геометрія
Доведення як шлях і твердження Nyquist про зразковування сигналу мають спільну геометричну структуру: обидва включають знаходження мінімальної представлення чогось складного.
Мінімізація доказу: знайти найкоротший шлях (менше кроків висновування) через граф доказу від припущень до висновку. Самодостатність доказу мінімізувала довжину шляху шляхом експлуатації симетрії.
Обробка сигналу: знайти мінімальне число зразків (нижчу частоту пробудження) що зберігає всю інформацію в обмеженому по широті сигналі. Теорема Ніквіста мінімізує представлення шляхом експлуатації обмежень широти.
Обидві проблеми існують у просторах з внутрішньою структурою, яка дозволяє мінімальне представлення результатів. Обидві зазнають невдачі, коли ця структура руйнується: довжина доказів збільшується, коли простір аксіом погано організований; аліасинг відбувається, коли сигнал не є обмеженим по широті.