对数坐标图与饱和
计算速度在50年间遵循指数增长曲线。在对数-线性坐标图（对数速度 vs 线性时间）上，这表现为斜率 b = 每年数量级增长率的直线。
物理限制施加了一个水平上限：由分子尺寸、光速及热约束决定的最大速度 S_max。当指数增长接近 S_max 时，增长必然减缓。
逻辑斯谛饱和
一种常见的有上限增长模型：
S(t) = S_max / (1 + e^(−r(t − t₀)))
这是应用于技术的逻辑斯谛方程。在早期（t << t₀）：S(t) ≈ S_max × e^(r(t−t₀)) —— 纯指数增长。接近上限时（t >> t₀）：S(t) 渐近趋向 S_max。
几何形态：在对数-线性坐标上的直线在接近上限时弯曲，在线性-线性坐标上呈现 S 形。
增长何时饱和？
假设单处理器速度从1940年的 10⁰ 次操作/秒开始，以 10^(0.09t) 的速度增长。物理上限：S_max = 10^(12) 次操作/秒（单核处理器的粗略估计，受热约束和光速约束限制）。
最大通信半径
处理器的时钟速度决定了在一个时钟周期内能够通信的最大半径。信号在铜中以约 2×10⁸ 米/秒的速度传播。
对于时钟周期 T（秒），最大单向通信半径为：
r_max = v × T / 2
（除以2用于往返：信号必须在 T 内发出并返回）
随着时钟速度增加，T 减小，故 r_max 缩小。这一几何约束迫使组件更紧密地聚集——减小芯片面积——或接受片外通信的多周期延迟。
影响球面
在一个时钟周期内可达的所有组件构成以处理器为中心、半径为 r_max 的球体。体积：V = (4/3)π r_max³。
若组件密度为 ρ（组件/立方米），一个周期内可达的组件数量：N = ρ × V = ρ × (4/3)π r_max³。
随着时钟速度增加，r_max 缩小，N 以立方方式缩小——时钟速度提高2倍会使可达组件数量减少 (1/2)³ = 1/8。
每个时钟周期内可达的组件数量
1993年代的工作站以100 MHz运行（T = 10 ns）。信号速度 = 2×10⁸ m/s。电路板上的组件密度 ≈ 10⁸ 组件/立方米（包括芯片、电阻、电容的粗略估计）。
现代 GPU 以 2 GHz 运行（T = 0.5 ns）。
并行加速上限
单处理器速度接近物理上限。业界的回应：并行架构。阿姆达尔定律量化了并行性可实现的加速。
阿姆达尔定律
假设程序的分数 f 可以并行化，分数 (1−f) 必须串行运行。使用 p 个处理器时：
Speedup(p) = 1 / ((1−f) + f/p)
当 p → ∞ 时：Speedup_max = 1 / (1−f)
串行分数 (1−f) 为可实现的加速设置了硬上限，无论添加多少处理器。
几何洞察：加速作为 p 的函数遵循双曲线。渐近线为 1/(1−f)。当 f = 0.9 时，最大加速 = 10，即使处理器数量无限。当 f = 0.99 时，最大加速 = 100。
汉明的隐含教训：对并行架构的兴趣是真实的，但收益完全取决于工作负载的可并行程度——这一事实被许多并行计算乐观主义者忽视了。
计算并行加速
一个科学仿真在单处理器上运行1000秒。性能分析显示：串行初始化阶段200秒（无法并行化）；并行计算阶段800秒。