लॉग-लॉग प्लॉट और संतृप्ति
50 वर्षों तक कंप्यूटिंग गति एक घातांकीय वृद्धि वक्र का अनुसरण करती रही। एक लॉग-रैखिक प्लॉट (लॉग गति बनाम रैखिक समय) पर, यह ढलान b = प्रति वर्ष परिमाण के क्रमों में वृद्धि दर के साथ एक सीधी रेखा के रूप में दिखाई देती है।
भौतिक सीमाएँ एक क्षैतिज छत लगाती हैं: आणविक आकार, प्रकाश-गति, और ऊष्मा बाधाओं द्वारा निर्धारित अधिकतम गति S_max। जैसे-जैसे घातांकीय S_max के पास पहुँचती है, वृद्धि धीमी होनी चाहिए।
लॉजिस्टिक संतृप्ति
सीमा के साथ वृद्धि के लिए एक सामान्य मॉडल:
S(t) = S_max / (1 + e^(−r(t − t₀)))
यह प्रौद्योगिकी पर लागू लॉजिस्टिक समीकरण है। प्रारंभिक समय पर (t << t₀): S(t) ≈ S_max × e^(r(t−t₀)) — शुद्ध घातांकीय। सीमा के पास (t >> t₀): S(t) → S_max अनंतस्पर्शी रूप से।
ज्यामिति: लॉग-रैखिक निर्देशांकों पर एक सीधी रेखा सीमा के पास मुड़ जाती है, रैखिक-रैखिक निर्देशांकों पर देखने पर S-आकार उत्पन्न करती है।
वृद्धि कब संतृप्त होती है?
मान लीजिए एकल-प्रोसेसर गति 1940 में 10⁰ ऑप्स/सेकंड से शुरू होकर 10^(0.09t) की दर से बढ़ती है। भौतिक सीमा: S_max = 10^(12) ऑप्स/सेकंड (ऊष्मीय और प्रकाश-गति बाधाओं द्वारा सीमित एकल-कोर प्रोसेसर का एक अनुमान)।
अधिकतम संचार त्रिज्या
एक प्रोसेसर की क्लॉक गति उस अधिकतम त्रिज्या को निर्धारित करती है जिसमें वह एक चक्र में संचार कर सकता है। संकेत तांबे में लगभग 2×10⁸ m/s की गति से यात्रा करते हैं।
क्लॉक अवधि T (सेकंड में) के लिए, अधिकतम एकदिशीय संचार त्रिज्या:
r_max = v × T / 2
(राउंड-ट्रिप के लिए 2 से विभाजित करें: संकेत को T के भीतर जाना और वापस आना होगा)
जैसे-जैसे क्लॉक गति बढ़ती है, T घटता है, इसलिए r_max सिकुड़ता है। यह ज्यामितीय बाधा घटकों को करीब क्लस्टर करने के लिए मजबूर करती है — चिप क्षेत्र को कम करती है — या ऑफ-चिप संचार के लिए बहु-चक्र विलंबता स्वीकार करती है।
प्रभाव का गोला
एक क्लॉक चक्र के भीतर पहुँच योग्य सभी घटक प्रोसेसर पर केंद्रित त्रिज्या r_max का एक गोला बनाते हैं। आयतन: V = (4/3)π r_max³।
यदि घटक घनत्व ρ (घटक/m³) है, तो एक चक्र के भीतर पहुँच योग्य घटकों की संख्या: N = ρ × V = ρ × (4/3)π r_max³।
जैसे-जैसे बढ़ती क्लॉक गति के साथ r_max सिकुड़ता है, N घनाकार रूप से सिकुड़ता है — 2× क्लॉक गति वृद्धि पहुँच योग्य घटक संख्या को (1/2)³ = 1/8 से सिकोड़ती है।
प्रति क्लॉक चक्र में पहुँच योग्य घटक
1993 के युग का एक वर्कस्टेशन 100 MHz (T = 10 ns) पर चलता है। संकेत गति = 2×10⁸ m/s। एक सर्किट बोर्ड पर घटक घनत्व ≈ 10⁸ घटक/m³ (चिप्स, प्रतिरोधकों, संधारित्रों सहित अनुमान)।
एक आधुनिक GPU 2 GHz (T = 0.5 ns) पर चलता है।
समानांतर गति वृद्धि की सीमा
एकल-प्रोसेसर गति भौतिक सीमाओं के पास पहुँचती है। उद्योग की प्रतिक्रिया: समानांतर वास्तुकला। Amdahl का नियम समानांतरता से प्राप्त गति वृद्धि को मापता है।
Amdahl का नियम
मान लीजिए किसी प्रोग्राम का अंश f समानांतर किया जा सकता है, और अंश (1−f) को क्रमिक रूप से चलना होगा। p प्रोसेसर के साथ:
Speedup(p) = 1 / ((1−f) + f/p)
जैसे-जैसे p → ∞: Speedup_max = 1 / (1−f)
क्रमिक अंश (1−f) प्राप्त करने योग्य गति वृद्धि पर एक कठोर सीमा निर्धारित करता है, चाहे आप कितने भी प्रोसेसर जोड़ें।
ज्यामितीय अंतर्दृष्टि: p के फलन के रूप में गति वृद्धि एक अतिपरवलयिक वक्र का अनुसरण करती है। अनंतस्पर्शी 1/(1−f) है। f = 0.9 के लिए, अधिकतम गति वृद्धि = 10, यहाँ तक कि अनंत प्रोसेसर के साथ भी। f = 0.99 के लिए, अधिकतम गति वृद्धि = 100।
हैमिंग का अंतर्निहित पाठ: समानांतर वास्तुकला में रुचि वास्तविक थी, लेकिन लाभ पूरी तरह से इस बात पर निर्भर था कि कार्यभार कितना समानांतर किया जा सकता है — एक तथ्य जिसे कई समानांतर कंप्यूटिंग आशावादियों ने नजरअंदाज किया।
समानांतर गति वृद्धि की गणना
एक वैज्ञानिक सिमुलेशन एक प्रोसेसर पर 1000 सेकंड में चलता है। प्रोफाइलिंग से पता चलता है: 200 सेकंड एक क्रमिक आरंभीकरण चरण में (समानांतर नहीं किया जा सकता); 800 सेकंड एक समानांतर गणना चरण में।