切線近似
幾何概念
常微分方程 dy/dx = f(x,y) 為 (x,y) 平面中的每個點分配斜率 — 一個方向場。真實解 y(x) 是一條曲線，處處遵循這些指定的斜率。
歐拉法將連續方向場轉換為離散行走：
> (xₙ, yₙ) → (xₙ + h, yₙ + h·f(xₙ, yₙ))
從點 (xₙ, yₙ) 開始，沿著切線移動距離 h。到達一個近似的下一個點。重複。
幾何誤差：在 (xₙ, yₙ) 處的切線斜率為 f(xₙ, yₙ)，但真實曲線在區間 [xₙ, xₙ + h] 沿著的每個點處都有不同的斜率。歐拉步驟始終使用左端點處的斜率 — '曾有的斜率'。每步的誤差以 h² 增長。
累積誤差
在 N 步到達固定端點 x = a 時，h = a/N：
- 每步的局部截斷誤差：O(h²)
- 步數：N = a/h
- 全局誤差：O(h²) × (a/h) = O(h) — 一階精度
歐拉法是一階的：將 h 減半即可減半全局誤差。
運行歐拉法
考慮 dy/dx = y，初始條件 y(0) = 1。真實解：y(x) = eˣ，所以 y(1) = e ≈ 2.71828。
應用歐拉法，h = 0.5，從 x = 0 到 x = 1（2 步）：
步驟 1：y₁ = y₀ + h·f(x₀, y₀) = 1 + 0.5·(1) = 1.5。新點：(0.5, 1.5)。
步驟 2：y₂ = y₁ + h·f(x₁, y₁) = 1.5 + 0.5·(1.5) = 2.25。新點：(1.0, 2.25)。
歐拉給出 2.25 與真實值 2.71828 相比。誤差：0.468。相對誤差：~17%。
推導歐拉法的穩定性區域
對於測試方程 dy/dx = λy（其中 λ 是複數），歐拉法給出：
> yₙ₊₁ = yₙ + h·λ·yₙ = yₙ·(1 + hλ)
每步的放大因子：z = 1 + hλ。
穩定性條件：計算的解保持有界當且僅當 |z| ≤ 1，即 |1 + hλ| ≤ 1。
這是複 hλ-平面中的幾何條件：點 hλ 必須位於以 (-1, 0) 為中心、半徑為 1 的圓內。
歐拉的穩定性區域：{ hλ ∈ ℂ : |1 + hλ| ≤ 1 }
對於實數、負數 λ（像 dy/dx = -2y 這樣的衰減 ODE）：hλ 必須位於實軸上的區間 (-2, 0] 內。使用 λ = -2 和 h = 0.5：hλ = -1。這正好在穩定性邊界上 — 方法邊界穩定，這解釋了前面例子中的定性失敗。
使用 h = 1 和 λ = -2：hλ = -2，將我們置於穩定性區域之外。解會以不斷增長的幅度振盪。
尋找穩定性邊界
龍格-庫塔法 4（RK4）的穩定性區域比歐拉法大，這是它優於大多數問題的原因之一。
對於實數負數 λ，RK4 在實軸上允許 hλ 降至大約 -2.785（相比歐拉法的 -2 限制）。
對於剛性方程，其中特徵值 λ 的大小差異很大 — 比如 λ₁ = -1 和 λ₂ = -1000 — 穩定性要求 hλ₂ 保持在區域內。對於實軸上的 RK4：h·(-1000) ≥ -2.785，所以 h ≤ 0.002785。
這個微小的步長，由剛性特徵值 λ₂ 決定，使得模擬非常昂貴，即使緩慢分量 λ₁ 可以使用 h = 2。
不動點 & 吸引盆地
應用於 dy/dx = f(y) 的歐拉法定義了一個離散映射：yₙ₊₁ = g(yₙ) = yₙ + h·f(yₙ)。
此映射的不動點：y 使得 g(y) = y。對於歐拉在 dy/dx = f(y) 上，不動點滿足 f(y) = 0 — ODE 的平衡點。
不動點的穩定性：如果 |g'(y)| < 1，附近的迭代收斂到 y。如果 |g'(y*)| > 1，它們發散。
g'(y) = 1 + h·f'(y)。在不動點 y：|1 + h·f'(y)| < 1 用於穩定性。
這正是歐拉穩定性條件，其中 λ = f'(y*) — ODE 在平衡點處的線性化。
吸引盆地：在歐拉映射下收斂到 y* 的初始條件集合。對於非線性系統，盆地邊界定義了模擬將可靠地追蹤 ODE 平衡點的位置，與發散到另一個吸引子的位置。
模擬迴路是一個離散動力系統。其定性行為 — 收斂、振盪、發散 — 取決於步長 h 相對於 ODE 方向場幾何的關係。
將幾何連接到模擬設計
數值模擬的幾何歸結為三個問題：
1. 穩定性區域在哪裡？對於歐拉：圓盤 |1 + hλ| ≤ 1。對於 RK4 更大。對於隱式方法無界（整個左半平面）。
2. ODE 的特徵值在哪裡？f 在每個點的雅可比矩陣的特徵值 λ 決定了哪個穩定性區域必須包含 hλ。
3. 什麼 h 使所有 hλ 保持在區域內？最大允許 h = （穩定性區域半徑）/ max|λ|。
對於剛性系統：max|λ| 非常大，強制顯式方法使用微小 h。隱式方法每步很昂貴但允許大 h — 它們用每步成本換穩定性。
漢明的洞察轉化為：數值方法的選擇編碼了關於 ODE 特徵值譜幾何的賭注。使該賭注明確是任何模擬中的第一個設計決定。