接線近似
幾何学的考え方
常微分方程式 dy/dx = f(x,y) は (x,y) 平面のあらゆる点に傾きを割り当てます — 方向場です。真の解 y(x) は、これらの割り当てられた傾きに至るところ従う曲線です。
オイラー法は連続な方向場を離散的な歩行に変換します。
> (xₙ, yₙ) → (xₙ + h, yₙ + h·f(xₙ, yₙ))
点 (xₙ, yₙ) から、接線に沿って距離 h だけ移動します。近似の次の点に到達します。繰り返します。
幾何学的誤差: (xₙ, yₙ) における接線の傾きは f(xₙ, yₙ) ですが、真の曲線は区間 [xₙ, xₙ + h] に沿うあらゆる点で異なる傾きを持っています。オイラー法のステップは左端の傾きを通じて使用します — 『あった傾き』。ステップあたりの誤差は h² として増加します。
累積誤差
固定されたエンドポイント x = a に到達するために N ステップにわたって、h = a/N として:
- ステップあたりの局所打ち切り誤差: O(h²)
- ステップ数: N = a/h
- グローバル誤差: O(h²) × (a/h) = O(h) — 1次精度
オイラー法は1次的です: h を半分にするとグローバル誤差も半分になります。
オイラー法を実行する
dy/dx = y を考え、初期条件 y(0) = 1 とします。真の解: y(x) = eˣ、したがって y(1) = e ≈ 2.71828。
h = 0.5 でオイラー法を適用し、x = 0 から x = 1 まで (2 ステップ) を実行します。
ステップ 1: y₁ = y₀ + h·f(x₀, y₀) = 1 + 0.5·(1) = 1.5。新しい点: (0.5, 1.5)。
ステップ 2: y₂ = y₁ + h·f(x₁, y₁) = 1.5 + 0.5·(1.5) = 2.25。新しい点: (1.0, 2.25)。
オイラー法は 2.25 を与え、真の値は 2.71828。誤差: 0.468。相対誤差: ~17%。
オイラーの安定領域を導く
テスト方程式 dy/dx = λy (ここで λ は複素数) に対して、オイラー法は以下を与えます。
> yₙ₊₁ = yₙ + h·λ·yₙ = yₙ·(1 + hλ)
ステップあたりの増幅係数: z = 1 + hλ。
安定条件: 計算された解が有界に留まるための必要十分条件は |z| ≤ 1 です、すなわち |1 + hλ| ≤ 1。
これは複素 hλ 平面の幾何学的条件です: 点 hλ は (-1, 0) を中心とした半径 1 の円内に横たわる必要があります。
オイラーの安定領域: { hλ ∈ ℂ : |1 + hλ| ≤ 1 }
実数で負の λ (dy/dx = -2y のような減衰 ODE の場合): hλ は実軸上の区間 (-2, 0] に横たわる必要があります。λ = -2 と h = 0.5 では: hλ = -1。これは安定境界上の正確な点です — メソッドは周辺的に安定しており、これは前の例での質的な失敗を説明しています。
h = 1 と λ = -2 では: hλ = -2、安定領域の外に置かれます。解は増大する振幅で振動します。
安定境界を見つける
ルンゲ-クッタ 4次 (RK4) はオイラー法より大きな安定領域を持ちます。これが多くの問題で好まれる理由の一つです。
実数の負の λ に対して、RK4 は実軸上で約 -2.785 まで hλ を許します (オイラー法の -2 制限と比較して)。
固有値 λ が非常に異なるマグニチュードの硬い方程式の場合 — 例えば λ₁ = -1 と λ₂ = -1000 — 安定性は hλ₂ を領域内に留めることが必要です。実軸上の RK4 の場合: h·(-1000) ≥ -2.785、したがって h ≤ 0.002785。
この微小なステップサイズは硬い固有値 λ₂ によって指示され、シミュレーションを高価にします。低速成分 λ₁ は h = 2 を使用できますが。
固定点と吸引盆地
dy/dx = f(y) に適用されたオイラー法は離散的な写像を定義します: yₙ₊₁ = g(yₙ) = yₙ + h·f(yₙ)。
この写像の固定点: g(y) = y であるような y。dy/dx = f(y) 上のオイラー法の場合、固定点は f(y) = 0 を満たします — ODE の平衡状態。
固定点の安定性: |g'(y)| < 1 の場合、近くの反復は y に収束します。|g'(y*)| > 1 の場合、それらは発散します。
g'(y) = 1 + h·f'(y)。固定点 y では: 安定性のために |1 + h·f'(y)| < 1。
これはちょうど λ = f'(y*) を持つオイラーの安定条件です — 平衡状態での ODE の線形化。
吸引盆地: オイラーの写像の下で y* に収束する初期条件の集合。非線形システムの場合、盆地の境界はシミュレーションがどこで確実に ODE 平衡を追跡するか、または別の吸引子に発散するかを定義します。
シミュレーション反応ループは離散力学系です。その質的な振る舞い — 収束、振動、発散 — はステップサイズ h と ODE の方向場の幾何学的性質に相対的に依存しています。
幾何学をシミュレーション設計に接続する
数値シミュレーションの幾何学は 3 つの質問に要約されます。
1. 安定領域はどこですか? オイラー法の場合: ディスク |1 + hλ| ≤ 1。RK4 ではより大きい。陰的メソッドの場合は無制限 (左半平面全体)。
2. ODE の固有値はどこですか? 各点での f のヤコビアンの固有値 λ は、どの安定領域が hλ を含む必要があるかを決定します。
3. どの h がすべての hλ を領域内に保ちますか? 最大許容 h = (安定領域の半径) / max|λ|。
硬いシステムの場合: max|λ| は巨大で、陽的メソッドには小さな h を強制します。陰的メソッドはステップあたり高価ですが、大きな h を許します — それらはステップあたりのコストと安定性を交換しています。
ハミングの洞察は翻訳します: 数値メソッドの選択は ODE の固有値スペクトルの幾何学に関するベットをコード化します。そのベットを明示的にすることは、任何のシミュレーションにおける最初の設計決定です。