Aproksimasi Garis Singgung
Gagasan Geometris
Persamaan diferensial biasa dy/dx = f(x,y) menentukan kemiringan untuk setiap titik dalam bidang (x,y) — bidang arah. Solusi sebenarnya y(x) adalah kurva yang di mana-mana mengikuti kemiringan yang ditentukan tersebut.
Metode Euler mengonversi bidang arah kontinu menjadi jalan diskrit:
> (xₙ, yₙ) → (xₙ + h, yₙ + h·f(xₙ, yₙ))
Dari titik (xₙ, yₙ), bergerak jarak h sepanjang garis singgung. Tiba di titik berikutnya yang mendekati. Ulangi.
Kesalahan geometris: garis singgung di (xₙ, yₙ) memiliki kemiringan f(xₙ, yₙ), tetapi kurva sebenarnya memiliki kemiringan berbeda di setiap titik sepanjang interval [xₙ, xₙ + h]. Langkah Euler menggunakan kemiringan pada titik akhir kiri di seluruh — 'kemiringan yang ada.' Kesalahan per langkah tumbuh sebagai h².
Kesalahan Terakumulasi
Lebih dari N langkah untuk mencapai titik akhir tetap x = a, dengan h = a/N:
- Kesalahan pemotongan lokal per langkah: O(h²)
- Jumlah langkah: N = a/h
- Kesalahan global: O(h²) × (a/h) = O(h) — akurasi orde pertama
Metode Euler adalah orde pertama: membagi dua h membagi dua kesalahan global.
Menjalankan Metode Euler
Pertimbangkan dy/dx = y, dengan kondisi awal y(0) = 1. Solusi sebenarnya: y(x) = eˣ, jadi y(1) = e ≈ 2.71828.
Terapkan metode Euler dengan h = 0.5, dari x = 0 ke x = 1 (2 langkah):
Langkah 1: y₁ = y₀ + h·f(x₀, y₀) = 1 + 0.5·(1) = 1.5. Titik baru: (0.5, 1.5).
Langkah 2: y₂ = y₁ + h·f(x₁, y₁) = 1.5 + 0.5·(1.5) = 2.25. Titik baru: (1.0, 2.25).
Euler memberikan 2.25 vs nilai sebenarnya 2.71828. Kesalahan: 0.468. Kesalahan relatif: ~17%.
Menurunkan Wilayah Stabilitas Euler
Untuk persamaan uji dy/dx = λy (di mana λ adalah bilangan kompleks), metode Euler memberikan:
> yₙ₊₁ = yₙ + h·λ·yₙ = yₙ·(1 + hλ)
Faktor amplifikasi per langkah: z = 1 + hλ.
Kondisi stabilitas: solusi yang dihitung tetap terbatas jika dan hanya jika |z| ≤ 1, yaitu, |1 + hλ| ≤ 1.
Ini adalah kondisi geometris dalam bidang kompleks hλ: titik hλ harus berada di dalam lingkaran dengan jari-jari 1 berpusat di (-1, 0).
Wilayah stabilitas Euler: { hλ ∈ ℂ : |1 + hλ| ≤ 1 }
Untuk λ nyata negatif (ODE yang meluruh seperti dy/dx = -2y): hλ harus berada dalam interval (-2, 0] pada sumbu nyata. Dengan λ = -2 dan h = 0.5: hλ = -1. Ini tepat berada di batas stabilitas — metodenya marginally stable, yang menjelaskan kegagalan kualitatif dalam contoh sebelumnya.
Dengan h = 1 dan λ = -2: hλ = -2, menempatkan kami di luar wilayah stabilitas. Solusi berosilasi dengan amplitudo yang tumbuh.
Menemukan Batas Stabilitas
Runge-Kutta 4 (RK4) memiliki wilayah stabilitas yang lebih besar daripada Euler, yang merupakan salah satu alasan mengapa lebih disukai untuk sebagian besar masalah.
Untuk λ negatif nyata, RK4 memungkinkan hλ turun hingga sekitar -2.785 pada sumbu nyata (versus batas -2 Euler).
Untuk persamaan stiff dengan nilai eigen λ dengan magnitudo yang sangat berbeda — misalkan λ₁ = -1 dan λ₂ = -1000 — stabilitas memerlukan hλ₂ tetap berada dalam wilayah. Untuk RK4 pada sumbu nyata: h·(-1000) ≥ -2.785, jadi h ≤ 0.002785.
Ukuran langkah yang sangat kecil ini, yang ditentukan oleh nilai eigen stiff λ₂, membuat simulasi menjadi mahal meskipun komponen lambat λ₁ bisa menggunakan h = 2.
Titik Tetap & Basin Penarik
Metode Euler diterapkan pada dy/dx = f(y) mendefinisikan peta diskrit: yₙ₊₁ = g(yₙ) = yₙ + h·f(yₙ).
Sebuah titik tetap dari peta ini: y sedemikian sehingga g(y) = y. Untuk Euler pada dy/dx = f(y), titik tetap memuaskan f(y) = 0 — ekuilibria ODE.
Stabilitas titik tetap: jika |g'(y)| < 1, iterasi terdekat konvergen ke y. Jika |g'(y*)| > 1, mereka divergen.
g'(y) = 1 + h·f'(y). Di titik tetap y: |1 + h·f'(y)| < 1 untuk stabilitas.
Ini adalah kondisi stabilitas Euler yang tepat dengan λ = f'(y*) — linearisasi ODE pada ekuilibrium.
Basin penarik: himpunan kondisi awal yang konvergen ke y* di bawah peta Euler. Untuk sistem nonlinear, batas basin mendefinisikan di mana simulasi akan secara andal melacak ekuilibrium ODE versus divergen ke penarik lain.
Putaran simulasi adalah sistem dinamis diskrit. Perilaku kualitatifnya — konvergensi, osilasi, divergensi — tergantung pada ukuran langkah h relatif terhadap geometri bidang arah ODE.
Menghubungkan Geometri dengan Desain Simulasi
Geometri simulasi numeris turun ke tiga pertanyaan:
1. Di mana wilayah stabilitas? Untuk Euler: disk |1 + hλ| ≤ 1. Lebih besar untuk RK4. Unbounded (seluruh setengah bidang kiri) untuk metode implisit.
2. Di mana nilai eigen ODE? Nilai eigen λ dari Jacobian f di setiap titik menentukan wilayah stabilitas mana yang harus mengandung hλ.
3. Apa h yang menjaga semua hλ di dalam wilayah? h maksimal yang diizinkan = (jari-jari wilayah stabilitas) / max|λ|.
Untuk sistem stiff: max|λ| sangat besar, memaksa h kecil untuk metode eksplisit. Metode implisit mahal per langkah tetapi memungkinkan h besar — mereka menukar biaya per langkah untuk stabilitas.
Wawasan Hamming diterjemahkan: pilihan metode numeris mengkodekan taruhan tentang geometri spektrum nilai eigen ODE. Membuat taruhan itu eksplisit adalah keputusan desain pertama dalam simulasi apa pun.