Xấp xỉ đường tiếp tuyến
Ý tưởng hình học
Một phương trình vi phân thường dy/dx = f(x,y) gán một độ dốc cho mỗi điểm trong mặt phẳng (x,y) — một trường hướng. Giải pháp thực sự y(x) là một đường cong mà ở mọi nơi theo các độ dốc được gán.
Phương pháp Euler chuyển đổi trường hướng liên tục thành một bước đi rời rạc:
> (xₙ, yₙ) → (xₙ + h, yₙ + h·f(xₙ, yₙ))
Từ điểm (xₙ, yₙ), di chuyển khoảng cách h dọc theo đường tiếp tuyến. Đến điểm tiếp theo gần đúng. Lặp lại.
Sai số hình học: đường tiếp tuyến tại (xₙ, yₙ) có độ dốc f(xₙ, yₙ), nhưng đường cong thực có độ dốc khác nhau tại mỗi điểm dọc theo khoảng [xₙ, xₙ + h]. Bước Euler sử dụng độ dốc tại điểm cuối trái xuyên suốt — 'độ dốc đã là.' Sai số trên mỗi bước tăng lên như h².
Sai số tích lũy
Trong N bước để đạt điểm cuối cố định x = a, với h = a/N:
- Sai số cắt ngắn cục bộ trên mỗi bước: O(h²)
- Số bước: N = a/h
- Sai số toàn cục: O(h²) × (a/h) = O(h) — độ chính xác bậc một
Phương pháp Euler là bậc một: giảm h một nửa sẽ giảm sai số toàn cục một nửa.
Chạy phương pháp Euler
Xét dy/dx = y, với điều kiện ban đầu y(0) = 1. Giải pháp thực: y(x) = eˣ, vì vậy y(1) = e ≈ 2,71828.
Áp dụng phương pháp Euler với h = 0,5, từ x = 0 đến x = 1 (2 bước):
Bước 1: y₁ = y₀ + h·f(x₀, y₀) = 1 + 0,5·(1) = 1,5. Điểm mới: (0,5, 1,5).
Bước 2: y₂ = y₁ + h·f(x₁, y₁) = 1,5 + 0,5·(1,5) = 2,25. Điểm mới: (1,0, 2,25).
Euler cho 2,25 so với giá trị thực 2,71828. Sai số: 0,468. Sai số tương đối: ~17%.
Dẫn xuất vùng ổn định của Euler
Đối với phương trình kiểm tra dy/dx = λy (trong đó λ là một số phức), phương pháp Euler cho:
> yₙ₊₁ = yₙ + h·λ·yₙ = yₙ·(1 + hλ)
Hệ số khuếch đại trên mỗi bước: z = 1 + hλ.
Điều kiện ổn định: giải pháp được tính toán vẫn giới hạn nếu và chỉ nếu |z| ≤ 1, tức là, |1 + hλ| ≤ 1.
Đây là một điều kiện hình học trong mặt phẳng hλ phức: điểm hλ phải nằm bên trong hình tròn có bán kính 1 tâm tại (-1, 0).
Vùng ổn định Euler: { hλ ∈ ℂ : |1 + hλ| ≤ 1 }
Đối với λ thực, âm (một phương trình vi phân suy giảm như dy/dx = -2y): hλ phải nằm trong khoảng (-2, 0] trên trục thực. Với λ = -2 và h = 0,5: hλ = -1. Đây chính xác là trên biên giới ổn định — phương pháp có ổn định biên, điều này giải thích sự thất bại định tính trong ví dụ trước.
Với h = 1 và λ = -2: hλ = -2, đặt chúng ta ra ngoài vùng ổn định. Giải pháp dao động với biên độ tăng lên.
Tìm biên giới ổn định
Runge-Kutta 4 (RK4) có vùng ổn định lớn hơn Euler, đó là một lý do tại sao nó được ưa thích cho hầu hết các vấn đề.
Đối với λ âm thực, RK4 cho phép hλ xuống khoảng -2,785 trên trục thực (so với giới hạn -2 của Euler).
Đối với các phương trình cứng với eigenvalues λ ở các độ lớn rất khác nhau — chẳng hạn λ₁ = -1 và λ₂ = -1000 — ổn định đòi hỏi hλ₂ ở bên trong vùng. Đối với RK4 trên trục thực: h·(-1000) ≥ -2,785, vì vậy h ≤ 0,002785.
Kích thước bước nhỏ này, được xác định bởi eigenvalue cứng λ₂, làm cho mô phỏng đắt tiền ngay cả khi thành phần chậm λ₁ có thể sử dụng h = 2.
Điểm cố định & Thể chứa hấp dẫn
Phương pháp Euler được áp dụng cho dy/dx = f(y) định nghĩa một bản đồ rời rạc: yₙ₊₁ = g(yₙ) = yₙ + h·f(yₙ).
Một điểm cố định của bản đồ này: y sao cho g(y) = y. Đối với Euler trên dy/dx = f(y), các điểm cố định thỏa mãn f(y) = 0 — cân bằng của ODE.
Ổn định của một điểm cố định: nếu |g'(y)| < 1, các lần lặp gần đó hội tụ đến y. Nếu |g'(y*)| > 1, chúng phân kỳ.
g'(y) = 1 + h·f'(y). Tại một điểm cố định y: |1 + h·f'(y)| < 1 để ổn định.
Đây chính xác là điều kiện ổn định Euler với λ = f'(y*) — tuyến tính hóa của ODE tại cân bằng.
Thể chứa hấp dẫn: tập hợp các điều kiện ban đầu hội tụ đến y* dưới bản đồ Euler. Đối với các hệ thống phi tuyến, biên giới thể chứa xác định nơi mô phỏng sẽ theo dõi đáng tin cậy cân bằng ODE so với phân kỳ đến một phần tử hấp dẫn khác.
Vòng lặp mô phỏng là một hệ thống động lực học rời rạc. Hành vi định tính của nó — hội tụ, dao động, phân kỳ — phụ thuộc vào kích thước bước h so với hình học của trường hướng ODE.
Kết nối hình học để thiết kế mô phỏng
Hình học của mô phỏng số đôi khi được rút gọn thành ba câu hỏi:
1. Vùng ổn định ở đâu? Đối với Euler: đĩa |1 + hλ| ≤ 1. Lớn hơn cho RK4. Không bị giới hạn (nửa mặt phẳng trái toàn bộ) cho các phương pháp ẩn.
2. Các eigenvalues của ODE ở đâu? Các eigenvalues λ của Jacobian của f tại mỗi điểm xác định vùng ổn định nào phải chứa hλ.
3. Cái gì h giữ tất cả hλ bên trong vùng? H tối đa cho phép = (bán kính vùng ổn định) / max|λ|.
Đối với hệ thống cứng: max|λ| là khổng lồ, buộc h nhỏ cho các phương pháp rõ ràng. Các phương pháp ẩn rất tốn kém trên mỗi bước nhưng cho phép h lớn — chúng giao dịch chi phí cho mỗi bước để ổn định.
Những hiểu biết của Hamming dịch: sự lựa chọn phương pháp số mã hóa một cược về hình học của phổ giá trị riêng ODE. Làm cho cược đó rõ ràng là quyết định thiết kế đầu tiên trong bất kỳ mô phỏng nào.