Trung bình, Phương sai & Độ lệch
Mọi lần đo x_i của một giá trị đúng μ có thể được viết là: x_i = μ + β + ε_i, trong đó β là sai số hệ thống (độ lệch, hằng số trong các phép đo) & ε_i là sai số ngẫu nhiên (khác nhau cho mỗi lần đo, được rút ra từ một phân phối có trung bình 0).
Sai số ngẫu nhiên: E[ε_i] = 0, Var[ε_i] = σ². Trung bình mẫu x̄ = (1/n) Σ x_i có giá trị kỳ vọng μ + β & phương sai σ²/n. Khi n → ∞, x̄ → μ + β (không phải μ). Sai số ngẫu nhiên tiến về không; độ lệch thì không.
Sai số hệ thống: β ≠ 0, hằng số. Trung bình của bất kỳ số lần đo nào là μ + β. Để loại bỏ độ lệch, bạn cần hiệu chuẩn (một phép đo độc lập của β), không phải nhiều lần lặp lại.
Về hình học: hãy tưởng tượng phân phối các phép đo như một đường cong hình chuông. Sai số ngẫu nhiên kiểm soát chiều rộng (phương sai). Sai số hệ thống kiểm soát vị trí của tâm (trung bình bị dịch chuyển từ giá trị đúng bởi β).
Bất định được nêu trong một lần đo thường là ước tính của σ (chỉ sai số ngẫu nhiên). Nếu β lớn & không được phát hiện, bất định được nêu là vô nghĩa — nó định lượng tiếng ồn trong một dụng cụ có độ lệch.
Tính toán Độ lệch vs Phương sai
Một phòng thí nghiệm đo hằng số hấp dẫn g. Dụng cụ của họ có sai số hiệu chuẩn hệ thống β = +0,05 m/s². Sai số đo ngẫu nhiên của họ có độ lệch chuẩn σ = 0,02 m/s². Họ thực hiện n = 100 lần đo.
Giá trị đúng: g = 9,80 m/s².
Cách sai số chuyển động qua các tính toán
Khi bạn tính một đại lượng z = f(x, y) từ các đại lượng đo x & y, các sai số đo của chúng lan truyền vào z.
Công thức lan truyền sai số (khai triển Taylor bậc nhất):
σ²_z ≈ (∂f/∂x)² σ²_x + (∂f/∂y)² σ²_y
(Điều này giả định các sai số x & y là độc lập. Nếu tương quan, thêm 2 · (∂f/∂x)(∂f/∂y) · Cov(x,y).)
Hiểu rõ chính: các đạo hàm riêng phần hoạt động như bộ khuếch đại. Nếu ∂f/∂x lớn, các sai số nhỏ trong x sẽ tạo ra các sai số lớn trong z.
Điều này có nghĩa là chọn một phương pháp tính toán giảm thiểu các đạo hàm riêng phần là một mục tiêu kỹ thuật thực sự — không chỉ là thuận tiện về thuật toán. Hamming rất nhạy cảm với điều này trong công việc phân tích số của ông.
Lan truyền qua một Sản phẩm
Bạn đo hai chiều dài: L₁ = 10,0 m ± 0,1 m (σ₁ = 0,1) & L₂ = 5,0 m ± 0,2 m (σ₂ = 0,2). Bạn tính diện tích A = L₁ × L₂.
Khi dữ liệu phù hợp quá tốt
Kiểm định chi-bình phương mức độ phù hợp: cho n quan sát O_i & dự báo mô hình E_i, tính:
χ² = Σ (O_i − E_i)² / E_i
Nếu mô hình là chính xác & các phép đo có phương sai E_i, giá trị kỳ vọng của χ² xấp xỉ ν = (số điểm dữ liệu) − (số tham số được điều chỉnh), được gọi là bậc tự do.
Chi-bình phương rút gọn χ²/ν phải xấp xỉ 1,0 nếu dữ liệu phù hợp với mô hình có lượng phân tán dự kiến.
- χ²/ν >> 1: dữ liệu thay đổi nhiều hơn kỳ vọng — mô hình sai, hoặc các bất định bị đánh giá thấp.
- χ²/ν << 1: dữ liệu thay đổi ít hơn kỳ vọng — sạch đáng ngờ.
Trường hợp đáng ngờ: nếu các phép đo của bạn có σ = 0,1 nhưng dữ liệu đều nằm trong ±0,01 của đường cong mô hình, ai đó đã chọn lực giữ các phép đo 'tốt'. Đây là độ lệch xác nhận: loại bỏ dữ liệu không đồng ý & giữ lại dữ liệu đồng ý.
Hamming trích dẫn thí nghiệm giọt dầu của Millikan: phép đo giành giải Nobel của điện tích electron. Phân tích sau này về các sổ tay phòng thí nghiệm của Millikan cho thấy ông đã áp dụng phán đoán không có tài liệu để loại bỏ các phép đo 'ngoại lệ' — & các phép đo được giữ lại phù hợp một cách đáng ngờ.
Tính toán & Giải thích Chi-bình phương Rút gọn
Một sinh viên khớp một mô hình tuyến tính y = ax + b với 10 điểm dữ liệu, ước tính 2 tham số (a & b). Bất định đo được nêu cho mỗi điểm là σ = 0,5. Các phần dư (O_i − E_i) từ khớp là: 0,08, −0,12, 0,05, −0,09, 0,11, −0,07, 0,04, −0,03, 0,10, −0,06.