Ortalama, Değişkenlik ve Bias
Gerçek değer μ olan her ölçüm x_i, x_i = μ + β + ε_i şeklinde yazılabilir, burada β sistemik hata (bias, ölçümler üzerinde sabit) ve ε_i rastgele hata (her ölçüm için farklı, 0 ortalama ve değişkenlik σ² olan bir dağılımdan çekilir).
Rastgele hata: E[ε_i] = 0, Var[ε_i] = σ². Örnek ortalama x̄ = (1/n) Σ x_i'nin beklenen değeri μ + β ve değişkenliği σ²/n. n → ∞ iken x̄ → μ + β (değil μ). Rastgele hata sıfıra gider; bias kalmaz.
Sistemik hata: β ≠ 0, sabit. Bir sayının ölçüm ortalaması μ + β'dir. Bias'ı ortadan kaldırmak için, kalibrasyon (β'nin bağımsız bir ölçümüne) değil, daha fazla tekrarla ihtiyacınız yoktur.
Geometrik olarak: ölçüm dağılımlarını düşünebilirsiniz. Rastgele hata genişliğin genişliğini (değişkenliği) kontrol eder. Sistemik hata merkezin konumunu (ortalamayı gerçek değerden β ile kaydırır) kontrol eder.
Bir ölçümün ifade edilen belirsizliği genellikle sadece rastgele hata için σ'ya (sistemik hata büyük ve fark edilmediyse) bir tahmindir. Eğer β büyük ve fark edilmezse, ifade edilen belirsizlik anlamsızdır - bir yönlendirici hata içinde gürültüyü ölçer.
Bias ve Değişkenlik Hesaplama
Bir laboratuvar, kütle çekimi sabiti g'yi ölçer. Aletleri sistemik bir kalibrasyon hatası olan β = +0.05 m/s²'ye sahiptir. Rastgele ölçüm hatalarının standart sapması σ = 0.02 m/s²'dir. 100 ölçüm alırlar.
Gerçek değer: g = 9.80 m/s².
Hataların Hesaplamalar Arasında Nasıl Geçiş Yaptığı
Ölçümlü miktarlar x ve y'den bir miktar z = f(x, y) hesapladığınızda, hataları z'ye geçer.
Hata yayılım formülü (ilk-order Taylor genişlemesi):
σ²_z ≈ (∂f/∂x)² σ²_x + (∂f/∂y)² σ²_y
(Bu, x ve y hatalarının bağımsız olduğu varsayar. Eğer korelasyonluysa, x ve y'nin türevlerini ve x ve y'nin korelasyonunu ekleyin.)
Anahtar kavrayış: türevler gibi amplifikatörler iş görür. ∂f/∂x büyükse, x'deki küçük hatalar z'de büyük hatalara yol açar.
Bu, hesaplamalar yönteminin kısmi türevler açısından en az değerlendirmeye sahip olmasını mühendislik bir hedefi haline getirir - sadece algoritmik rahatlık değil. Hamming bu sayısal analiz çalışmasında bu konuda çok duyarlıydı.
Bir Ürünü Yayılma
İki uzunluk ölçersiniz: L₁ = 10.0 m ± 0.1 m (σ₁ = 0.1) ve L₂ = 5.0 m ± 0.2 m (σ₂ = 0.2). Alanı A = L₁ × L₂ hesaplayın.
Verinin Çok İyi Uyanması
Kare hatalar iyi uyanma testi: n gözlem O_i ve model tahminleri E_i verildiğinde, hesapla:
χ² = Σ (O_i − E_i)² / E_i
Eğer model doğru ve ölçümler E_i'ye sahip bir değişkenli varyanssa, χ²'nin beklenen değeri, veri noktalarının sayısı - uyumlu parametrelerin sayısı olarak adlandırılan serbestlik derecesi ile yaklaşık olarak ν = (sayısal değerler) − (uyumlu parametreler) olarak belirir.
Azaltılmış kare hatalar χ²/ν, verinin modeli beklenen ölçüde dalgalanmayla uyanıyorsa yaklaşık olarak 1.0 olmalıdır.
- χ²/ν >> 1: veri beklenenden daha fazla dalgalanıyorsa - model yanlış veya hatalar küçültülmüştür.
- χ²/ν << 1: veri beklenenden daha az dalgalanıyorsa - şüpheli temiz.
Şüpheli durum: ölçümünüz σ = 0.1 olsa bile, model eğrisine ±0.01 içinde tüm ölçümler düşüyorsa, 'iyi' ölçümleri koruyan biri seçerek ölçümleri sınıflandırdı. Bu, onaylayıcı önyargı: uyuşmayan ölçümleri reddetme ve uyanan ölçümleri koruma eğilimidir.
Hamming, Millikan'ın yağ damlası deneyini örnek gösteriyor: elektron yüklü elektronun Nobel Ödülü kazanan ölçümü. Millikan'ın laboratuvar defterlerinin daha sonra yapılan analizi, 'anormal' ölçümleri belirsiz bir yargı ile reddettiğini ve elde tutulan ölçümlerin şüpheli bir şekilde uyanarak ortaya çıktı - ve elde tutulan ölçümler.
Azaltılmış Kare Hataları Hesapla ve Yorumlaştır
Bir öğrenci, 10 veri noktası için bir doğrusal model y = ax + b uydurarak 'a' ve 'b' parametrelerini tahmin ediyor. Her noktanın ifade edilen ölçüm hataları σ = 0.5. Eğriye göre hesaplanan geribildirimler (O_i − E_i): 0.08, −0.12, 0.05, −0.09, 0.11, −0.07, 0.04, −0.03, 0.10, −0.06.