Ortalama, Varyans ve Önyargı
Gerçek bir değer μ'nün her ölçümü x_i şu şekilde yazılabilir: x_i = μ + β + ε_i, burada β sistematik hatadır (önyargı, ölçümler arasında sabit) ve ε_i rastgele hatadır (her ölçüm için farklı, ortalama 0 olan bir dağılımdan çizilmiştir).
Rastgele hata: E[ε_i] = 0, Var[ε_i] = σ². Örnek ortalama x̄ = (1/n) Σ x_i, μ + β beklenen değerine ve σ²/n varyansına sahiptir. n → ∞ olarak, x̄ → μ + β (μ değil). Rastgele hata sıfıra gider; önyargı gitmez.
Sistematik hata: β ≠ 0, sabit. Herhangi bir sayıda ölçümün ortalaması μ + β'dır. Önyargıyı ortadan kaldırmak için, daha fazla tekrarlama değil, kalibrasyon (β'nın bağımsız bir ölçümü) gereklidir.
Geometrik olarak: ölçümlerin dağılımını bir çan eğrisi olarak düşünün. Rastgele hata genişliği (varyans) kontrol eder. Sistematik hata merkezin konumunu kontrol eder (ortalama, gerçek değerden β kadar kaymıştır).
Bir ölçümdeki belirtilen belirsizlik genellikle σ'nın (sadece rastgele hata) bir tahminidir. β büyük ve tespit edilmemişse, belirtilen belirsizlik anlamsızdır — yanlı bir enstrümandaki gürültüyü ölçer.
Önyargı vs Varyans Hesaplaması
Bir laboratuvar, yerçekimi sabitini g ölçer. Enstrümanlarının sistematik bir kalibrasyon hatası vardır β = +0,05 m/s². Rastgele ölçüm hatalarının standart sapması σ = 0,02 m/s²'dir. n = 100 ölçüm yaparlar.
Gerçek değer: g = 9,80 m/s².
Hatalar Hesaplamalar İçinde Nasıl Hareket Eder
Ölçülen niceliklerden x ve y hesaplanan bir nicelik z = f(x, y) olduğunda, ölçüm hatalarının z'ye yayılması yapılır.
Belirsizliğin yayılması formülü (birinci dereceden Taylor açılımı):
σ²_z ≈ (∂f/∂x)² σ²_x + (∂f/∂y)² σ²_y
(Bu, x ve y hatalarının bağımsız olduğunu varsayar. Koreleli ise, 2 · (∂f/∂x)(∂f/∂y) · Cov(x,y) ekleyin.)
Temel içgörü: kısmi türevler yükselticiler işlevi görür. ∂f/∂x büyükse, x'teki küçük hatalar z'de büyük hatalar üretir.
Bu, kısmi türevleri en aza indiren bir hesaplama yöntemi seçmenin gerçek bir mühendislik amacı olduğu anlamına gelir — sadece algoritmik kolaylık değil. Hamming, sayısal analiz çalışmasında buna keskin bir şekilde dikkat ediliyordu.
Bir Ürün Boyunca Yayılma
İki uzunluğu ölçersiniz: L₁ = 10,0 m ± 0,1 m (σ₁ = 0,1) ve L₂ = 5,0 m ± 0,2 m (σ₂ = 0,2). Alan A = L₁ × L₂ hesaplarsınız.
Veriler Çok İyi Uyduğunda
Ki-kare uyum iyiliği testi: n gözlemler O_i ve model tahminleri E_i verildiğinde, hesaplayın:
χ² = Σ (O_i − E_i)² / E_i
Model doğruysa ve ölçümler varyansa E_i'ye sahipse, χ²'nin beklenen değeri yaklaşık ν = (veri noktalarının sayısı) − (uydurulan parametrelerin sayısı) olan serbestlik derecesidir.
İndirgenmiş ki-kare χ²/ν, veriler beklenen dağılım miktarı ile model ile uyarsa yaklaşık 1,0 olmalıdır.
- χ²/ν >> 1: veriler beklenenden daha fazla değişir — model yanlıştır veya belirsizlikler olduğundan fazla küçüktür.
- χ²/ν << 1: veriler beklenenden daha az değişir — şüpheli şekilde temiz.
Şüpheli durum: ölçümleriniz σ = 0,1'e sahipse ancak veriler model eğrisinin ±0,01'i içinde yer alırsa, birisi seçici olarak 'iyi' ölçümleri tutmuştur. Bu onay önyargısıdır: anlaşmazlığa gelen veriyi atma ve anlaşmaya gelen veriyi tutma.
Hamming, Millikan'ın yağ damlası deneyini alıntılar: elektron yükünün ödül kazanan ölçümü. Daha sonraki analiz Millikan'ın laboratuvar not defterlerini ortaya çıkardı: belgellenmemiş yargıya uygulanmış 'aykırı' ölçümleri atma — ve tutulan ölçümler şüpheli şekilde iyi uyar.
İndirgenmiş Ki-Kareyi Hesaplayın ve Yorumlayın
Bir öğrenci, 10 veri noktasına doğrusal bir model y = ax + b uydurmakta, 2 parametre tahmin etmektedir (a ve b). Her nokta için belirtilen ölçüm belirsizliği σ = 0,5'tir. Uyma işleminden kalanlar (O_i − E_i): 0,08, −0,12, 0,05, −0,09, 0,11, −0,07, 0,04, −0,03, 0,10, −0,06.