საშუალო, დისპერსია და მიკერძოება
ნებისმიერი გაზომვა x_i ჭეშმარიტი მნიშვნელობის μ შეიძლება დაიწეროს როგორც: x_i = μ + β + ε_i, სადაც β არის სისტემური შეცდომა (მიკერძოება, მუდმივი ყველა გაზომვაში) და ε_i არის შემთხვევითი შეცდომა (განსხვავებული თითოეული გაზომვისთვის, გამოყვანილი განაწილებიდან საშუალო 0-ით).
შემთხვევითი შეცდომა: E[ε_i] = 0, Var[ε_i] = σ². ნიმუშის საშუალო x̄ = (1/n) Σ x_i აქვს მოსალოდნელი მნიშვნელობა μ + β და დისპერსია σ²/n. როგორც n → ∞, x̄ → μ + β (არა μ). შემთხვევითი შეცდომა მიდის ნულამდე; მიკერძოება კი არა.
სისტემური შეცდომა: β ≠ 0, მუდმივი. ნებისმიერი რაოდენობის გაზომვის საშუალო არის μ + β. მიკერძოების შესაფასებლად საჭიროა კალიბრაციա (β-ის დამოუკიდებელი გაზომვა), არა მეტი გამეორება.
გეომეტრიულად: წარმოიდგინეთ გაზომვების განაწილება ზღვრული მრუდის სახით. შემთხვევითი შეცდომა კონტროლირებს სიგანეს (დისპერსია). სისტემური შეცდომა კონტროლირებს მდებარეობას (ცენტრი მოშორებულია ჭეშმარიტი მნიშვნელობიდან β-ით).
საცხადებული გაურკვევლობა გაზომვაში ჩვეულებრივ σ-ის შეფასება (მხოლოდ შემთხვევითი შეცდომა). თუ β დიდი და გამოუვლენი, საცხადებული გაურკვევლობა უსარგებლოა — ის გაამტკიცებს ხმაურს გადახრებულ ინსტრუმენტში.
მიკერძოება წინააღმდეგ დისპერსიის გამოთვლა
ლაბორატორია ზომავს გრავიტაციის მუდმივას g. მათი ინსტრუმენტის სისტემური კალიბრაციის შეცდომა β = +0.05 მ/წმ². მათი შემთხვევითი გაზომვის შეცდომას აქვს სტანდარტული გადახრა σ = 0.02 მ/წმ². ისინი აკეთებენ n = 100 გაზომვას.
ჭეშმარიტი მნიშვნელობა: g = 9.80 მ/წმ².
როგორ მოძრაობენ შეცდომები გამოთვლებში
როდესაც თქვენ გამოთვლით რაოდენობას z = f(x, y) გაზომილი რაოდენობებიდან x და y, მათი გაზომვის შეცდომები ვრცელდება z-ში.
გაურკვევლობის გავრცელების ფორმულა (პირველი რიგის ტეილორის გაფართოება):
σ²_z ≈ (∂f/∂x)² σ²_x + (∂f/∂y)² σ²_y
(ეს ვარაუდობს, რომ x და y შეცდომები დამოუკიდებელი. თუ კორელირებული, დაამატეთ 2 · (∂f/∂x)(∂f/∂y) · Cov(x,y).)
მთავარი შინაარსი: ნაწილობრივი წარმოებულები მოქმედებენ როგორც გამასწორებლები. თუ ∂f/∂x დიდი, მცირე შეცდომები x-ში ქმნიან დიდ შეცდომებს z-ში.
ეს ნიშნავს, რომ გამოთვლის მეთოდის არჩევა, რომელიც მინიმუმამდე აყვანს ნაწილობრივ წარმოებულებს, რეალური საინჟინრო მიზანი — არა მხოლოდ ალგორითმული მოსახერხებელი. ჰამინგი ღრმად ცნობიერი იყო ამის შესახებ მის რიცხვითი ანალიზის სამუშაოში.
გავრცელება ნამრავლის გაყოფით
თქვენ ზომავთ ორ სიგრძეს: L₁ = 10.0 მ ± 0.1 მ (σ₁ = 0.1) და L₂ = 5.0 მ ± 0.2 მ (σ₂ = 0.2). თქვენ გამოთვლით ფართობი A = L₁ × L₂.
როდესაც მონაცემები ძალიან კარგად უჯდება
ხი-კვადრატი ხელმისაწვდომობის ტესტი: მოცემული n დაკვირვება O_i და მოდელის პროგნოზი E_i, გამოთვალეთ:
χ² = Σ (O_i − E_i)² / E_i
თუ მოდელი სწორი და გაზომვებს აქვს დისპერსია E_i, χ²-ის მოსალოდნელი მნიშვნელობა დაახლოებით ν = (მონაცემების რაოდენობა) − (დადგენილი პარამეტრების რაოდენობა), რომელსაც უწოდებენ თავისუფლების ხარისხებს.
შემცირებული ხი-კვადრატი χ²/ν უნდა იყოს დაახლოებით 1.0 თუ მონაცემები მოდელს უჯდება მოსალოდნელი რაოდენობის გაფანტვით.
- χ²/ν >> 1: მონაცემები იცვლება მეტი ვიდრე მოსალოდნელი — მოდელი ვერ გამოდგა, ან გაურკვევლობები დაკმაყოფილებული.
- χ²/ν << 1: მონაცემები იცვლება ნაკლები ვიდრე მოსალოდნელი — ეჭვიანად სუფთა.
ეჭვიანი შემთხვევა: თუ თქვენი გაზომვებს აქვს σ = 0.1 მაგრამ მონაცემები ყველა ხვდება ±0.01-ის სიღრმეში მოდელის მრუდი, ვიღაც სელექციურად აქვს ცუდი გაზომვები შენახული. ეს არის დადასტურებული მიკერძოება: მონაცემების გაუკმავი ბიჯი რომელიც არ ეთანხმება და მონაცემების შენახვა რომელიც ეთანხმება.
ჰამინგი ციტირებს მილიკანის ზეთოვანი წვეთის ექსპერიმენტი: ნობელის პრემიის მოპოვებული გაზომვა ელექტრონის მუხტი. მილიკანის ლაბორატორიის რვეულების შემდგომი ანალიზი აჩვენა, რომ მან გამოუცხადელი განჭვრეტა გამოიყენა გაუკმავი გაზომვებისთვის — და შენახული გაზომვები ძალიან კარგად უჯდება.
გამოთვალეთ და გაიგეთ შემცირებული ხი-კვადრატი
სტუდენტი აკეთებს ხაზოვან მოდელს y = ax + b 10 მონაცემის წერტილამდე, 2 პარამეტრის შეფასება (a და b). დეკლარირებული გაზომვის გაურკვევლობა ყველა წერტილისთვის არის σ = 0.5. აკვანტაციები (O_i − E_i) თხა ლოკოს: 0.08, −0.12, 0.05, −0.09, 0.11, −0.07, 0.04, −0.03, 0.10, −0.06.