윈도우가 깁스 오버슈트를 줄이는 방법

윈도우 함수 w_k는 절단된 계수 수열을 중앙값에서 가장자리에서 0으로 테이퍼합니다. 테이퍼는 직사각형 절단으로 인한 급한 모서리를 제거합니다.

테이퍼링이 작동하는 이유

깁스 오버슈트는 직사각형 윈도우의 푸리에 변환(sinc 함수)이 큰 사이드로브를 가지기 때문에 발생합니다. 이러한 사이드로브는 불연속점 근처에서 함께 추가되어 약 9% 오버슈트를 생성합니다.

부드러운 윈도우는 더 작은 사이드로브를 가진 푸리에 변환을 가집니다. 계수에 윈도우를 곱하면 이상적인 주파수 응답을 윈도우의 푸리에 변환과 합성합니다. 더 작은 사이드로브 → 더 적은 리플.

일반적인 윈도우

직사각형 (윈도우 없음): 사이드로브 ≈ −13 dB, 깁스 ≈ 9%.

한(Hann) (von Hann): w_k = 0.5 + 0.5·cos(πk/N). 사이드로브 ≈ −31 dB.

해밍(Hamming): w_k = 0.54 + 0.46·cos(πk/N). 사이드로브 ≈ −41 dB, 첫 번째 사이드로브 ≈ −43 dB. 깁스 < 0.2%.

카이저(Kaiser): w_k = I₀(α·√(1−(k/N)²)) / I₀(α). 조정 가능: α는 사이드로브 수준을 제어하여 설계가 사이드로브 높이 대 전이 대역 폭을 절충할 수 있습니다.

윈도우 트레이드-오프

모든 윈도우는 트레이드-오프를 부과합니다: 사이드로브를 억제하면 항상 주로브를 넓힙니다.

더 넓은 주로브는 더 넓은 전이 대역을 의미합니다 — 통과대역과 차단대역 사이의 주파수 범위입니다.

해밍은 카이저의 설계 매개변수로 이를 공식화했습니다:

- δ: 허용 가능한 리플 (이상적 값으로부터의 수직 공차 — 응답이 0 또는 1에서 얼마나 벗어날 수 있는지)

- ΔF: 전이 폭 (수평 공차 — 통과에서 차단으로의 전이가 얼마나 좁은지)

카이저 방법은 δ와 ΔF만으로 N (계수의 수)과 α (윈도우 형태 매개변수) 모두를 찾습니다. 윈도우 유형을 추측할 필요가 없습니다.

사양에서 계수로

카이저 방법은 두 개의 사양 — δ (리플 공차) 및 ΔF (전이 폭) — 을 취하고 시행착오 없이 N과 윈도우 계수를 모두 생성합니다.

설계 순서

1. A = −20·log₁₀(δ) (dB의 감쇠)를 계산합니다

2. 형태 매개변수 α를 계산합니다:

- A > 50인 경우: α = 0.1102·(A − 8.7)

- 21 ≤ A ≤ 50인 경우: α = 0.5842·(A − 21)^{0.4} + 0.07886·(A − 21)

- A < 21인 경우: α = 0 (직사각형 윈도우)

3. N = (A − 8) / (2.285 · 2πΔF)를 계산합니다

4. 카이저 윈도우 가중치를 계산합니다: w_k = I₀(α·√(1−(k/N)²)) / I₀(α)

5. 이상적인 푸리에 계수에 윈도우 가중치를 곱합니다

6. 결과 전달 함수를 평가하고 리플을 δ에 대해 확인합니다. 리플이 δ를 초과하면 (가장자리 간섭), 더 작은 공차로 반복합니다.

해밍은 다음과 같이 지적했습니다: 카이저는 0.5 (너무 큼)를 시도하고 0.4가 잘 맞는 것을 발견하여 지수 0.4에 도달했습니다. 컴퓨터는 이론적 연구의 실험적 도구로 사용되었습니다.

카이저 방법 적용

베셀 함수 I₀(x)는 카이저의 윈도우 공식에 나타납니다. 이는 빠르게 수렴하는 급수로 계산됩니다:

I₀(x) = Σ_{m=0}^∞ [(x/2)^m / m!]²

작은 x의 경우, 분모의 m!² 때문에 급수는 몇 항 내에 수렴합니다.