من الاستجابة المثالية إلى المرشح العملي
قدم هامينج طريقة تصميم تتكون من أربع خطوات لمرشحات FIR باستخدام سلسلة فورييه.
الخطوة 1: حدّد الاستجابة المثالية
عرّف H_ideal(f): الاستجابة الترددية الدقيقة التي تريدها. بالنسبة لمرشح التمرير المنخفض: H = 1 عندما f < f_c، H = 0 عندما f > f_c. هذه دالة درجة في المجال الترددي.
الخطوة 2: احسب معاملات فورييه
وسّع H_ideal(f) كسلسلة فورييه في متغير التردد. معاملات c_k هي قيم الاستجابة النبضية المثالية للمرشح:
c_k = ∫₀¹ H_ideal(f) · e^{i2πfk} df
بالنسبة لمرشح التمرير المنخفض بتردد قطع f_c: c_k = sin(2πf_c·k) / (πk) عندما k ≠ 0، c_0 = 2f_c.
هذه الاستجابة النبضية لا نهائية — دالة sinc تمتد للأبد في الزمن. المرشح العملي يحتاج إلى عدد محدود من المعاملات.
الخطوة 3: اقتطع إلى 2N+1 حد
احتفظ فقط بالمعاملات c_k عندما |k| ≤ N. هذه النافذة المستطيلة من 2N+1 حد هي أبسط اقتطاع. تنتج ظاهرة غيبز: ≈9% تجاوز بالقرب من التردد القطع.
الخطوة 4: طبّق نافذة
اضرب المعاملات المقتطعة بدالة نافذة w_k لتقليل التجاوز الناتج عن غيبز:
c̃_k = c_k · w_k
معاملات النافذة c̃_k تحدد المرشح العملي.
حساب معاملات فورييه
صيغة معامل فورييه c_k = sin(2πf_c·k) / (πk) لمرشح التمرير المنخفض بتردد قطع f_c توفر الاستجابة النبضية.
بالنسبة لمرشح تمرير النطاق بتردد قطع أدنى f_l وتردد قطع أعلى f_u، معامل فورييه للاستجابة المثالية هو: c_k = [sin(2πf_u·k) − sin(2πf_l·k)] / (πk).
كيف تقلل النوافذ التجاوز الناتج عن غيبز
دالة نافذة w_k تدرج السلسلة المعاملات المقتطعة من قيمتها المركزية إلى صفر عند الحواف. التدريج يزيل الحواف الحادة التي يقدمها الاقتطاع المستطيل.
لماذا يعمل التدريج
يحدث التجاوز الناتج عن غيبز لأن تحويل فورييه للنافذة المستطيلة (دالة sinc) يحتوي على فصوص جانبية كبيرة. تضيف هذه الفصوص الجانبية معاً بالقرب من عدم الاستمرارية لإنتاج التجاوز ≈9%.
النافذة السلسة لديها تحويل فورييه بفصوص جانبية أصغر. ضرب المعاملات بالنافذة يلتف بالاستجابة الترددية المثالية مع تحويل فورييه للنافذة. فصوص جانبية أصغر → تموج أقل.
النوافذ الشائعة
مستطيلة (بدون نافذة): فصوص جانبية ≈ −13 dB، غيبز ≈ 9%.
هان (من هان): w_k = 0.5 + 0.5·cos(πk/N). فصوص جانبية ≈ −31 dB.
هامينج: w_k = 0.54 + 0.46·cos(πk/N). فصوص جانبية ≈ −41 dB، الفص الجانبي الأول ≈ −43 dB. غيبز < 0.2%.
كايزر: w_k = I₀(α·√(1−(k/N)²)) / I₀(α). قابل للضبط: α يتحكم بمستوى الفص الجانبي، مما يسمح بالموازنة بين ارتفاع الفص الجانبي وعرض النطاق الانتقالي.
مقايضة النافذة
كل نافذة تفرض مقايضة: قمع الفصوص الجانبية يوسّع الفص الرئيسي دائماً.
فص رئيسي أوسع يعني نطاق انتقالي أوسع — نطاق التردد بين نطاق التمرير والنطاق الموقوف.
صيغ هامينج هذا بناءً على معاملات تصميم كايزر:
- δ: التموج المسموح به (التسامح العمودي عن المثالي — كم يمكن للاستجابة أن تنحرف عن 0 أو 1)
- ΔF: عرض النطاق الانتقالي (التسامح الأفقي — ما مدى ضيق الانتقال من التمرير إلى الإيقاف)
طريقة كايزر تجد كلاً من N (عدد المعاملات) و α (معامل شكل النافذة) من δ و ΔF وحدها. بدون تخمين نوع النافذة.
من المواصفات إلى المعاملات
طريقة كايزر تأخذ مواصفتين — δ (تسامح التموج) و ΔF (عرض النطاق الانتقالي) — وتنتج كلاً من N ومعاملات النافذة بدون محاولة وخطأ.
تسلسل التصميم
1. احسب A = −20·log₁₀(δ) (التخفيف بوحدة dB)
2. احسب معامل الشكل α:
- إذا كان A > 50: α = 0.1102·(A − 8.7)
- إذا كان 21 ≤ A ≤ 50: α = 0.5842·(A − 21)^{0.4} + 0.07886·(A − 21)
- إذا كان A < 21: α = 0 (نافذة مستطيلة)
3. احسب N = (A − 8) / (2.285 · 2πΔF)
4. احسب أوزان نافذة كايزر: w_k = I₀(α·√(1−(k/N)²)) / I₀(α)
5. اضرب معاملات فورييه المثالية بأوزان النافذة
6. قيّم دالة النقل الناتجة وافحص التموج مقابل δ. إذا تجاوز التموج δ (التداخل الحافي)، كرّر مع تسامح أصغر.
لاحظ هامينج: وصل كايزر إلى الأس 0.4 بمحاولة 0.5 (كبير جداً) وإيجاد أن 0.4 يناسب بشكل جيد. كان الحاسوب بمثابة أداة تجريبية للبحث النظري.
تطبيق طريقة كايزر
دالة بيسل I₀(x) تظهر في صيغة نافذة كايزر. تُحسب كسلسلة متقاربة بسرعة:
I₀(x) = Σ_{m=0}^∞ [(x/2)^m / m!]²
عندما يكون x صغيراً، تتقارب السلسلة في عدة حدود لوجود m!² في المقام.