Від ідеальної відповіді до практичного фільтра
Хеммінг представив чотирикроковий метод дизайну FIR фільтрів за допомогою рядів Фур'є.
Крок 1: Задайте ідеальну відповідь
Визначте H_ideal(f): точну частотну відповідь, яку ви хочете. Для фільтра нижніх частот: H = 1 для f < f_c, H = 0 для f > f_c. Це ступінькова функція в частотній області.
Крок 2: Обчисліть коефіцієнти Фур'є
Розвиньте H_ideal(f) як ряд Фур'є в частотній змінній. Коефіцієнти c_k є значеннями ідеальної імпульсної характеристики фільтра:
c_k = ∫₀¹ H_ideal(f) · e^{i2πfk} df
Для фільтра нижніх частот з частотою відсікання f_c: c_k = sin(2πf_c·k) / (πk) для k ≠ 0, c_0 = 2f_c.
Ця імпульсна характеристика нескінченна — функція sinc розширюється назавжди в часі. Практичний фільтр потребує скінченну кількість коефіцієнтів.
Крок 3: Обрізьте до 2N+1 членів
Збережіть тільки коефіцієнти c_k для |k| ≤ N. Це прямокутне вікно з 2N+1 членів — найпростіше обрізання. Воно виробляє явище Гіббса: ≈9% перелік біля частоти відсікання.
Крок 4: Застосуйте вікно
Помножте обрізані коефіцієнти на функцію вікна w_k для зменшення переліку Гіббса:
c̃_k = c_k · w_k
Вінцовані коефіцієнти c̃_k визначають практичний фільтр.
Обчислення коефіцієнтів Фур'є
Формула коефіцієнта Фур'є c_k = sin(2πf_c·k) / (πk) для фільтра нижніх частот з частотою відсікання f_c дає імпульсну характеристику.
Для смугового фільтра з нижньою частотою відсікання f_l та верхньою частотою відсікання f_u, коефіцієнт Фур'є ідеальної відповіді: c_k = [sin(2πf_u·k) − sin(2πf_l·k)] / (πk).
Як вікна зменшують перелік Гіббса
Функція вікна w_k звужує обрізану послідовність коефіцієнтів від її центрального значення до нуля біля країв. Звуження видаляє різкі краї, введені прямокутним обрізанням.
Чому звуження працює
Перелік Гіббса виникає тому, що перетворення Фур'є прямокутного вікна (функція sinc) має великі бічні пелюстки. Ці бічні пелюстки складаються разом біля розриву для виробництва ≈9% переліку.
Гладке вікно має перетворення Фур'є з меншими бічними пелюстками. Помноження коефіцієнтів на вікно згорває ідеальну частотну відповідь з перетворенням Фур'є вікна. Менші бічні пелюстки → менше пульсацій.
Загальні вікна
Прямокутне (без вікна): бічні пелюстки ≈ −13 дБ, Гіббс ≈ 9%.
Hann (von Hann): w_k = 0.5 + 0.5·cos(πk/N). Бічні пелюстки ≈ −31 дБ.
Хеммінг: w_k = 0.54 + 0.46·cos(πk/N). Бічні пелюстки ≈ −41 дБ, перша бічна пелюстка ≈ −43 дБ. Гіббс < 0.2%.
Кайзер: w_k = I₀(α·√(1−(k/N)²)) / I₀(α). Настроюється: α контролює рівень бічної пелюстки, дозволяючи дизайну обмінювати висоту бічної пелюстки на ширину смуги переходу.
Обмін вікна
Кожне вікно накладає компроміс: пригнічення бічних пелюсток завжди розширює основну пелюстку.
Ширша основна пелюстка означає ширшу смугу переходу — діапазон частот між смугою пропускання & смугою стопу.
Хеммінг формалізував це з точки зору параметрів дизайну Кайзера:
- δ: допустима пульсація (вертикальна толерантність від ідеалу — наскільки відповідь може відхилятися від 0 або 1)
- ΔF: ширина переходу (горизонтальна толерантність — як вузько перехід від пропускання до стопу)
Метод Кайзера знаходить як N (кількість коефіцієнтів), так і α (параметр форми вікна) з δ та ΔF самих. Без вгадування типу вікна.
Від специфікацій до коефіцієнтів
Метод Кайзера бере дві специфікації — δ (толерантність пульсацій) та ΔF (ширина переходу) — та виробляє як N, так і коефіцієнти вікна без спроб та помилок.
Послідовність дизайну
1. Обчисліть A = −20·log₁₀(δ) (послаблення дБ)
2. Обчисліть параметр форми α:
- Якщо A > 50: α = 0.1102·(A − 8.7)
- Якщо 21 ≤ A ≤ 50: α = 0.5842·(A − 21)^{0.4} + 0.07886·(A − 21)
- Якщо A < 21: α = 0 (прямокутне вікно)
3. Обчисліть N = (A − 8) / (2.285 · 2πΔF)
4. Обчисліть ваги вікна Кайзера: w_k = I₀(α·√(1−(k/N)²)) / I₀(α)
5. Помножте ідеальні коефіцієнти Фур'є на ваги вікна
6. Оцініть отримувальну функцію передачі та перевірте пульсацію проти δ. Якщо пульсація перевищує δ (перешкода ребра), повторіть з меншою толерантністю.
Хеммінг зазначив: Кайзер прибув до показника ступеня 0.4, спробувавши 0.5 (занадто великий) та знайшовши 0.4 добре підходить. Комп'ютер служив експериментальним інструментом для теоретичних досліджень.
Застосування методу Кайзера
Функція Бесселя I₀(x) з'являється у формулі вікна Кайзера. Вона обчислюється як швидко збіжний ряд:
I₀(x) = Σ_{m=0}^∞ [(x/2)^m / m!]²
Для малих x ряд збігається за кілька членів через m!² у знаменнику.