삼각형 메시

모든 3D 모델은 삼각형으로 만들어집니다

비디오 게임의 캐릭터나 애니메이션 영화의 건물을 볼 때, 당신은 수천 개 — 때로는 수백만 개 — 의 작은 삼각형이 메시로 연결되어 있는 것을 보고 있습니다.

왜 삼각형일까요? 기본적인 기하학적 성질 때문입니다: 공간의 모든 세 점은 유일한 평면을 정의합니다. 세 점은 항상 같은 평면에 있습니다 — 평면 표면을 형성합니다. 네 개 이상의 점은 같은 평면에 있지 않을 수 있으며, 이는 사각형 면이 휘거나 뒤틀릴 수 있음을 의미하며, 렌더링 아티팩트를 만듭니다.

게임의 구는 실제로는 근사입니다: 8개의 삼각형은 대략 팔면체를 제공하고, 32개는 더 둥글게, 128개는 눈에는 부드럽게 보입니다. 삼각형이 많을수록 표면이 더 부드럽습니다 — 하지만 그래픽 카드가 해야 할 일이 더 많습니다. 이 삼각형 개수 트레이드오프는 실시간 3D 그래픽의 중심 문제 중 하나입니다.

행렬 변환

수학으로 개체 이동하기

3D 장면의 모든 개체는 위치를 지정하고, 회전하고, 확대/축소해야 합니다. 그 후 전체 3D 세계를 평면 2D 화면에 투영해야 합니다. 이 모든 것은 행렬 변환 — 좌표를 행렬로 곱하기 — 으로 수행됩니다.

평행이동 — 개체 이동: 모든 정점 위치에 오프셋을 추가합니다.

회전 — 개체 회전: 회전 행렬(사인과 코사인)로 각 정점을 곱합니다.

확대/축소 — 개체 크기 조정: 각 좌표에 축척 계수를 곱합니다.

투영 — 3D를 2D로 평탄화: 먼 개체를 더 작게 보이게 하는 원근감 변환.

초당 60프레임으로 실행되는 현대 비디오 게임은 매 프레임마다 수백만 개의 이러한 행렬 곱셈을 계산합니다. GPU(그래픽 처리 장치)는 이 많은 병렬 기하학 때문에 CPU가 너무 느렸기 때문에 존재합니다. GPU는 기본적으로 대규모 병렬 행렬 곱셈 엔진입니다.

왜 삼각형일까요?

이것은 모든 컴퓨터 그래픽의 가장 기본적인 설계 결정 중 하나입니다.

공간의 점으로서의 데이터

기계학습은 기하학적 공간에서 작동합니다

데이터로 작동하는 모든 기계학습 모델은 기본적으로 기하학을 하고 있습니다. 각 데이터 포인트는 N차원 공간의 점이며, 여기서 N은 그것을 설명하는 특성(변수)의 수입니다.

제곱피트, 침실 수, 도심까지의 거리로 설명되는 집은 3D 공간의 점입니다. 10,000개의 픽셀 값으로 설명되는 의료 이미지는 10,000차원 공간의 점입니다. 차원의 수에 관계없이 수학은 동일하게 작동합니다.

분류는 클래스를 분리하는 기하학적 경계를 찾는 것입니다. 지원 벡터 머신(SVM)은 문자 그대로 두 클래스의 데이터를 가장 넓은 마진으로 분리하는 초평면을 찾습니다 — 그들 사이의 가장 넓은 '거리'. 이 경계에 가장 가까운 데이터 포인트를 지원 벡터라고 하며, 경계가 어디로 가는지를 실제로 결정하는 유일한 포인트입니다.

단어 임베딩과 벡터 산술

공간의 점으로서의 단어

기계학습의 가장 놀라운 응용 중 하나는 단어 임베딩입니다. Word2Vec 및 현대 언어 모델과 같은 시스템은 모든 단어를 고차원 공간의 점에 매핑합니다(일반적으로 300~1,000차원).

의미가 유사한 단어는 기하학적으로 서로 가깝게 끝납니다. '개'는 '강아지'와 '개과'에 가깝습니다. '프랑스'는 '독일'과 '스페인'에 가깝습니다.

더욱 놀라운 것은: 이 공간의 방향이 관계를 인코딩합니다. 유명한 예:

vector('king') - vector('man') + vector('woman') ≈ vector('queen')

이것은 순수한 벡터 기하학입니다. '남자'에서 '왕'으로의 방향은 대략 '여자'에서 '여왕'으로의 방향과 같습니다 — 둘 다 '왕권' 개념을 인코딩합니다. 기계학습 모델은 왕권이 무엇인지 누군가가 가르쳐주지 않고 텍스트를 읽으면서 이 기하학적 구조를 발견했습니다.

초평면과 마진

지원 벡터 머신은 기계학습의 기하학의 가장 명확한 예 중 하나입니다.

대원과 GPS

구체의 가장 짧은 경로는 직선이 아닙니다

평면에서 두 점 사이의 가장 짧은 경로는 직선입니다. 구체에서 가장 짧은 경로는 대원호 — 구체의 중심이 중심인 원을 따라 곡선입니다.

이것이 뉴욕에서 도쿄로 가는 비행기가 북극 위로 비행하는 이유입니다. 평평한 메르카토르 지도에서 이 경로는 북쪽으로 이상하게 곡선입니다. 하지만 지도는 왜곡되어 있습니다 — 극을 늘여서 직사각형을 채웁니다. 지구의 실제 구체에서 북극 경로가 더 짧습니다.

모든 경도선은 대원입니다. 적도는 대원입니다. 하지만 위도선(적도 제외)은 대원이 아닙니다 — 더 작은 원이며, 그 방향으로 비행하는 것이 가장 짧은 경로가 아닙니다.

GPS 삼각측량은 다르게 구면 기하학을 사용합니다. 각 GPS 위성은 위치와 시간을 방송합니다. 당신의 수신기는 각 위성까지의 거리를 계산합니다(빛의 속도 사용). 한 위성은 가능한 위치의 구를 제공합니다. 두 위성은 두 구가 교차하는 원을 제공합니다. 세 위성은 두 점을 제공합니다 — 하나는 일반적으로 흔하지 않습니다(우주 깊숙이), 따라서 당신의 위치를 얻습니다. 네 번째 위성은 시계 오류를 수정합니다.

왜 지도에서 비행이 곡선입니다

항공사와 조종사는 연료를 낭비하기 위해 곡선 경로를 비행하지 않습니다. 그들은 가능한 가장 짧은 경로를 비행합니다.

기하학적 치수 지정 & 공차

GD&T — 완벽에 얼마나 가까워야 충분할까요?

제조된 부품은 기하학적으로 완벽하지 않습니다. 25.000mm로 지정된 축은 선반에서 25.007mm 또는 24.993mm로 나올 것입니다. 질문은: 얼마나 많은 편차가 허용 가능합니까?

기하학적 치수 지정 & 공차(GD&T)는 기하학적 정밀도로 이에 답합니다. 단지 '25mm 더하기 또는 빼기 0.013mm'라고 말하는 대신, GD&T는 공차 영역을 정의합니다 — 실제 표면의 모든 점이 그 안에 있어야 하는 기하학적 영역입니다.

공차 영역은 원기둥(축의 경우), 한 쌍의 평행 평면(평면의 경우), 원뿔(테이퍼 기능의 경우)일 수 있습니다. 영역의 형태는 기능적으로 무엇이 중요한지에 따라 달라집니다: 원형도, 평면도, 수직도, 동심도.

이것은 순수 응용 기하학입니다. GD&T 도면을 읽는 기계공은 기하학적 제약을 해석합니다 — 이 표면은 완벽한 평면에서 0.01mm 이내입니까? 이 구멍의 축이 기준 표면에 수직인 0.05mm 이내입니까? 모든 공차는 기하학적 질문입니다.

응력 집중 & 기하학

기하학이 어디에 나타나는지 결정하는 이유

힘이 재료를 통해 흐를 때, 그것은 기하학적 경로를 따릅니다. 부드럽고 균일한 단면은 응력을 고르게 분산합니다. 하지만 모든 기하학적 불연속 — 구멍, 홈, 날카로운 모서리 — 그 지점에서 응력을 집중시킵니다.

응력 집중 계수는 전적으로 기하학에 따라 달라집니다. 인장 하에서 판의 작은 원형 구멍은 가장자리에서 공칭 응력의 3배를 경험합니다. 날카로운 V-홈은 각도에 따라 5배, 10배 이상의 응력을 집중시킬 수 있습니다.

이것이 항공기 창이 직사각형이 아니라 타원형인 이유입니다. 첫 번째 상용 제트 여객기인 De Havilland Comet은 사각형 창을 가지고 있었습니다. 1954년에 두 Comets이 비행 중에 분해되었습니다. 조사에 따르면 금속 피로 균열이 창의 날카로운 모서리에서 시작되었으며, 여기서 응력은 반복적인 가압 주기 동안 알루미늄이 견딜 수 있는 것보다 훨씬 높은 수준으로 집중되었습니다.

해결책은 기하학적 것이었습니다: 모서리를 둥글게 하세요. 타원형 창은 날카로운 집중 지점이 없는 주변 전체에서 응력을 고르게 분배합니다. 그 이후 모든 상용 항공기는 타원형 또는 둥근 직사각형 창을 사용했습니다. 기하학이 56명을 죽였습니다. 기하학도 해결책을 제공했습니다.

Comet 재난

De Havilland Comet 재난은 항공기 설계를 영원히 바꿨습니다.

실마리 연결하기

보편적 언어

우리가 다룬 것을 봅시다:

건축은 비디오 게임의 3D 메시를 강화하는 것과 같은 단단한 삼각형을 사용합니다.

컴퓨터 그래픽은 로봇공학이 기계팔을 배치하는 데 사용하는 것과 같은 행렬 변환을 사용합니다.

기계학습은 공학 최적화에서 설계 공간을 분리하는 것과 같은 초평면을 사용합니다.

항법은 건축가가 돔과 플래너토륨을 설계할 때 사용하는 것과 같은 구면 기하학을 사용합니다.

공학은 생물역학이 뼈 골절을 이해하는 데 사용하는 것과 같은 응력 분석을 사용합니다.

기하학은 같습니다. 응용은 다릅니다. 삼각형은 다리를 지탱하든 용을 렌더링하든 상관없이 단단합니다. 초평면은 이메일을 스팸으로 분류하든 에어포일 모양을 최적화하든 클래스를 분리합니다.

이것이 기하학을 응용 수학의 가장 강력한 도구 중 하나로 만드는 것입니다 — 과학 및 공학의 모든 분야에 걸쳐 문제에 대해 추론하기 위한 시각적, 공간적, 엄격한 방법을 제공합니다.

당신의 핵심 요약

우리는 건축, 컴퓨터 그래픽, 기계학습, 항법, 공학의 기하학을 탐험했습니다.