სამკუთხედის ბადე

თითოეული 3D მოდელი სამკუთხედებისგან შედგება

როდესაც თქვენ ხედავთ პერსონაჟს ვიდეო თამაშში ან შენობას ანიმაციურ ფილმში, თქვენ ხედავთ ათასობით — ზოგჯერ მილიონობით — პატარა სამკუთხედებს ერთმანეთზე დაჭედილი ბადეში.

რატომ სამკუთხედი? განაწილების გეომეტრიული თვისების გამო: ნებისმიერი სამი წერტილი სივრცეში განსაზღვრავს უნიკალური სიბრტყეს. სამი წერტილი ყოველთვის კოპლანარია — ისინი ყოველთვის ქმნიან ბრტყელ ზედაპირს. ოთხი ან მეტი წერტილი არ შეიძლება იყოს იმავე სიბრტყეზე, რაც ნიშნავს, რომ ოთხკუთხედის სახე შეიძლება გახეული ან გახეული იყოს, რაც ქმნის რენდერირების პროვოკაციებს.

თამაშში სფერი რეალურად მიახლოება: 8 სამკუთხედი აძლევთ უხეშ ოქტაედრონს, 32 უფრო მრგვალი აძლევთ, 128 გამოიყურება გლუვი თვალით. რაც მეტი სამკუთხედი, მით უფრო გლუვი ზედაპირი — მაგრამ მით უფრო მეტი სამუშაო გრაფიკული ბარათი უნდა გააკეთოს. ეს სამკუთხედი-რაოდენობის ვაჭრობა რეალ-დროის 3D გრაფიკის ერთ-ერთი ცენტრალური პრობლემა.

მატრიცული ტრანსფორმაციები

ობიექტების გადაადგილება მათემატიკით

თითოეულ 3D სცენაში ობიექტი უნდა იყოს პოზიცირებული, შემობრუნებული და მასშტაბი. შემდეგ მთელი 3D სამყარო უნდა იყოს პროექტირებული თქვენი ბრტყელი 2D ეკრანზე. ეს ყველაფერი კეთდება მატრიცული ტრანსფორმაციებით — კოორდინატების გამრავლება მატრიცებით.

თარგმნა — ობიექტის გადაადგილება: დააკუმულირეთ ოფსეტი ყველა წვერის პოზიციას.

ბრუნვა — ობიექტის შემობრუნება: გამრავლებული თითოეული წვერი ბრუნვის მატრიცით (სინუსი და კოსინუსი).

მასშტაბი — ობიექტის ზომის შეცვლა: გამრავლებული თითოეული კოორდინატი მასშტაბის ფაქტორით.

პროექცია — ბრტყელი 3D-დან 2D-მდე: პერსპექტივის ტრანსფორმაცია, რომელიც მოშორებულ ობიექტებს უფრო პატარა გამოიყურებით აკეთებს.

თამაში რეშენი წამში 60 ფრეიმით გამოსახავს მილიონობით ამ მატრიცული გამრავლებებს ყოველ ფრეიმში. GPU-ები (გრაფიკული დამუშავების ერთეულები) არსებობს სპეციალურად იმიტომ, რომ CPU-ები ძალიან ნელი იყო ამ ღირებულებამდე გრაფიკული გამოთვლებისთვის. GPU, მის ყველაზე ძირითადი დონეზე, მასიურად პარალელური მატრიცული გამრავლების ძრავა.

რატომ სამკუთხედი?

ეს არის ყველა კომპიუტერული გრაფიკის ერთ-ერთი ყველაზე ფუნდამენტური დიზაინის გადაწყვეტილება.

მონაცემები, როგორც წერტილები სივრცეში

მანქანური სწავლება მუშაობს გეომეტრიული სივრცეში

ყოველი მანქანური სწავლების მოდელი, რომელიც მუშაობს მონაცემებით, არის მის ბირთვში გეომეტრია. თითოეული მონაცემთა წერტილი არის წერტილი N-განზომილებიან სივრცეში, სადაც N არის მახასიათებელი რაოდენობა (ცვლადი), რომელიც აღწერს მას.

სახლი აღწერილი კვადრატული მეტრი, საძინებლების რაოდენობა და ქალაქის ცენტრამდე მანძილი არის წერტილი 3D სივრცეში. ექიმი სურათი აღწერილი 10,000 პიქსელი ღირებულება არის წერტილი 10,000-განზომილებიან სივრცეში. მათემატიკა სამუშაოს იგივე გზა არამედ განზომილებების რაოდენობის.

კლასიფიკაცია არის გეომეტრიული საზღვრების პოვნა, რომელიც ჯანგ კლასებს. მხარდამჭერი ვექტორი მანქანა (SVM) სიტყვასიტყვით პოულობს ჰიპერპლანი, რომელიც ორი კლასი მონაცემი ყველაზე 넓'ი სიგან დაშორებული — ყველაზე 넓'ი 'ქუჩა' მათ შორის. აქ მონაცემთა წერტილი დამახასიათებელი ამ საზღვარი კალიბრაციას რამდენიმე მხარდამჭერი ვექტორი, და მათ ყველა, რომლებიც რეალურად განსაზღვრავენ სად საზღვარი მიდის.

სიტყვა Embeddings და ვექტორი არითმეტიკა

სიტყვები, როგორც წერტილები სივრცეში

ერთი ყველაზე დაჯემი აპლიკაციის გეომეტრია მანქანური სწავლებაში არის სიტყვა embeddings. სისტემები მსგავსი Word2Vec და თანამედროვე ენა მოდელი რუკა ყოველი სიტყვა წერტილი მაღალი-განზომილებიან სივრცეში (ტიპიკურად 300 1000 განზომილება).

სიტყვები მსგავსი მნიშვნელობა ბოლოს ახლო ერთმანეთის გეომეტრიულად. 'ძაღლი' ახლო 'щენок' და 'კანინე.' 'ფრანცია' ახლო 'გერმანია' და 'ესპანეთი.'

კიდევ უფრო დამნიშვნელი: მიმართულება ამ სივრცეში ფენომენი ოპოზიციები. ცნობილი მაგალითი:

vector('მეფე') - vector('კაცი') + vector('ქალი') ≈ vector('დედოფალი')

ეს არის სუფთა ვექტორი გეომეტრია. მიმართულება 'კაცი'-დან 'მეფე' არის დაახლოებით იგივე მიმართულება 'ქალი'-დან 'დედოფალი' — ორივე ფენომენი 'სამეფო საზოგადოებას'. მანქანური სწავლების მოდელი აღმოაჩინა ეს გეომეტრიული სტრუქტურა ტექსტის კითხვის კეთილი, ვინმე შემდეგ სწავლობდა რა 'სამეფო საზოგადოებას' ნიშნავს.

Hyperplanes და Margins

მხარდამჭერი ვექტორი მანქანები არის მანქანური სწავლებაში გეომეტრია ერთ-ერთი ყველაზე ნათელი მაგალითი.

დიდი წრეები და GPS

მოკლე გზა სფეროზე არ არის სწორი ხაზი

ბრტყელი ზედაპირი, მოკლე გზა ორ წერტილებ შორის არის სწორი ხაზი. სფეროზე, მოკლე გზა არის დიდი წრე რკალი — მრუდი შეესაბამება წრე რომლის ცენტრი მოთავსებული ცენტრი სფერი.

ეს რატომ ფრენის ნიউ იორკიდან ტოკიოში ფრენ არქტიკული. ბრტყელი Mercator რუკა, ეს მარშრუტი ჩანს აბსურდიმ მრუდე ჩრდილოთ. მაგრამ რუკა მოხრეთ — ის ფართოვებს პოლუსი თავსებარი მართკუთხედი. პრაქტიკული სფეროზე Earth, არქტიკული მარშრუტი პატარა.

ყოველი ხაზი სიგრძე დიდი წრე. თანაბარი დიდი წრე. მაგრამ ხაზი სიგანე (გამონაკლის თანაბარი) არ დიდი წრე — ისინი უფრო პატარა წრე, და ფრენა მათი არ მოკლე გზა.

GPS ტრიანგულაცია იყენებს სფერული გეომეტრია სხვა გზა. თითოეული GPS თანამგზავრი ეთაურობს მის პოზიციონირება და დრო. თქვენი აპარატი გაანგარიშებისთვის მანძილი თითოეული თანამგზავრი (გამოყენებით სიჩქარე ღია). ერთი თანამგზავრი აძლევთ სფერი სიძლიერე პოზიციები. ორი თანამგზავრი აძლევთ წრე სად ორი სფერი მოთავსებული. სამი თანამგზავრი აძლევთ ორი წერტილი — ერთი როგორც წესი აბსურდი (ღრმა სივრცე), ასე თქვენ მიიღებთ თქვენი პოზიციო. მეოთხე თანამგზავრი განსწორება საათი შეცდომა.

რატომ ფრენ მრუდე რუკა

ავიაკომპანია და პილოტი არ ფრენა მრუდე მარშრუტი აკარგებს საწვავი. მათ ფრენა მოკლე შესაძლო გზა.

გეომეტრიული განზომილება და Tolerancing

GD&T — როგორ მახლობელი Შემდეგ Perfect არის მიიღო საკმარი?

No manufactured part is geometrically perfect. ზე სპეციალიზებული სახელი 25.000 mm იქნება მოვიდა off ჩამკეტი როგორც 25.007 mm ან 24.993 mm. კითხვა: როგორ მოხდენილი გადახრა არის აღებული?

გეომეტრიული განზომილება და Tolerancing (GD&T) პასუხი ამ გეომეტრიული სიზუსტე. ნაცვლად ხელმისაწვდომელი მხოლოდ '25 mm მიერთებული ან მხოლოდ 0.013 mm,' GD&T განსაზღვრავს tolerance ზონა — გეომეტრიული რეგიონი ჩამოწერა რომელი ყველა ქულა ზე პრაქტიკული ზედაპირი უნდა იყოს.

tolerance ზონა შეიძლება იყოს ცილინდრი (ზე სახელი), პარ პარალელური თვითმფრინავი (ზე ბრტყელი ზედაპირი), ან კონი (ზე tapered ფიჭური). ფორმა ზონა დამოკიდებულია რა ნიშნავს functionally: roundness, flatness, perpendicularity, concentricity.

ეს არის სუფთა გამოიყენება გეომეტრია. ა machinist იკითხე ა GD&T ნიმუში არის ინტერპრეტირება გეომეტრიული შეზღუდვა — არის ეს ზედაპირი შიგნით 0.01 mm ა სხვა თვითმფრინავი? არის ეს ხვრელი axis შიგნით 0.05 mm პერპენდიკულარული რომელი datum ზედაპირი? ყოველი tolerance არის გეომეტრიული კითხვა.

კვაქვ კონცენტრაცია და გეომეტრია

რატომ გეომეტრია განსაზღვრავს სად რამ Break

როდესაც სიძლიერე ხელმოწერა სარგებელი, ის გამოყენება გეომეტრიული გზა. თანმიმდევრობა, თანმიმდევრობა cross-section ტარიფი stress evenly. მაგრამ ნებისმიერი გეომეტრიული discontinuity — ხვრელი, ნიკი, მახვილი კუთხე — concentrates stress ზე რომელი ქულა.

stress concentration factor დამოკიდებულია მთლიანი გეომეტრია. მცირე წრიული ხვრელი ზე მდელო ქვეშ დაძაბვა განცდი 3x ნომინალური stress ზე მის კიდე. მახვილი V-ნიკი შეიძლება concentrate stress ყ 5x, 10x, ან მეტი, დამოკიდებულია კუთხე.

ეს რატომ თვითმფრინავი ფანჯრები ოვალური, არა მართკუთხედი. დე Havilland Comet — მსოფლიო პირველი ვაჭრობა jet airliner — ოჯახი კვადრატი ფანჯრები. 1954, ორი Comets გატეხი ზე ფრენა. გამოძიება აღმოჩნდა რომელი მეტალი피로 ღრმა შემოდგენილი მახვილი კუთხე ფანჯრები, სად stress concentrated რომელი დონე ბევრი უჩინ რა aluminum შეიძლება ბირთვი მეორე pressurization cycles.

მეოთხე არის გეომეტრიული: უხეშ კუთხე. ორი ოვალური ფანჯრებ distributes stress smoothly დან მის perimeter კი sharp concentration პუნქტი. ყოველი კომერციული ავიაკომპანია აი ოვალური ან rounded-მართკუთხედი ფანჯრებ. გეომეტრია მოკლე 56 ხალხი. გეომეტრია აგრეთვე მოწოდება გადაწყვეტილება.

დე Havilland Comet Disasters

დე Havilland Comet disasters შეცვლილი ავიაკომპანია დიზაინი სამუდამოდ.

დაკავშირება ძაფი

უნივერსალური ენა

იხილეთ რა ჩვენ შეგვწირეთ:

არქიტექტურა იყენებს იგივე მკრთალი სამკუთხედი რომელი stiften 3D meshes video თამაში.

კომპიუტერული გრაფიკა იყენებს იგივე matrix transformations რომელი robotics იყენებს მდებარე მექანიკული მკლავი.

მანქანური სწავლება იყენებს იგივე hyperplanes რომელი ცალკე დიზაინი space ინჟინერია optimization.

ნავიგაცია იყენებს იგივე სფერული გეომეტრია რომელი architects გამოიყენება როდესაც დიზაინი domes და planetariums.

ინჟინერია იყენებს იგივე stress analysis რომელი biomechanics იყენებს გააზრება ძვალი fractures.

გეომეტრია იგივე. პროგრამები განსხვავებული. სამკუთხედი მკრთალი თუ იგი ფიქსირების სახელი ხიდი ან rendering დრაკონი. ჰიპერპლანი ყოფს კლასი თუ იგი classifying emails როგორც spam ან optimizing ერთი airfoil ფორმა.

ეს რაც ხდის გეომეტრია ერთი ყველაზე ძლიერი ხელსაწყო გამოიყენება მათემატიკა — იგი ასწავლებს ვიზუალური, სივრცითი, და კაშკაშა გზა დასაბუთება მასში პრობლემა მასში ყოველი ფიჭური მეცნიერება და ინჟინერია.

თქვენი გადაწყვეტილება

ჩვენ უფილოს გეომეტრია ზე არქიტექტურა, კომპიუტერული გრაფიკა, მანქანური სწავლება, ნავიგაცია, და ინჟინერია.