三角形メッシュ

すべての3Dモデルは三角形でできています

ビデオゲームのキャラクターまたはアニメーション映画の建物を見るとき、数千—時には数百万—の小さな三角形がメッシュに縫い合わされたものを見ています。

なぜ三角形なのですか？基本的な幾何学的特性のため：空間内の任意の3つのポイントは一意の平面を定義します。3つのポイントは常に共面的です—常に平坦な表面を形成します。4つ以上のポイントは同じ平面上にない可能性があります。これは、四角形の顔がねじれたり歪んだりして、レンダリングアーティファクトが発生する可能性があることを意味します。

ゲーム内の球は本当に近似値です：8つの三角形は粗い八面体を与え、32は何か丸くより見えます、128は目に滑らかに見えます。三角形が多いほど、表面は滑らかです—しかし、グラフィックスカードがしなければならない作業が多くなります。このトライアングルカウントのトレードオフは、リアルタイム3Dグラフィックスの中心的な問題の1つです。

マトリックス変換

数学でオブジェクトを動かす

3Dシーン内のすべてのオブジェクトは、位置指定、回転、およびスケーリングする必要があります。その後、3D世界全体を平坦な2D画面に投影する必要があります。このすべてはマトリックス変換で行われます—座標にマトリックスを乗算します。

変換—オブジェクトを移動：すべての頂点位置にオフセットを追加します。

回転—オブジェクトをスピンさせます：回転マトリックス（正弦と余弦）によって各頂点を乗算します。

スケール—オブジェクトをサイズ変更：各座標にスケール係数を乗算します。

投影—3Dを2Dにフラット化：遠くのオブジェクトを小さく見えるようにする視点変換。

1秒あたり60フレーム走っている最新のビデオゲームは、単一のフレームで何百万ものこれらのマトリックス乗算を計算します。GPU（グラフィックス処理ユニット）は、CPUがこれほどの並列幾何学には遅すぎたため、特に存在します。GPUは、その中核では、大規模に並列マトリックス乗算エンジンです。

なぜ三角形ですか？

これはすべてのコンピュータグラフィックスで最も基本的な設計決定の1つです。

データを空間内のポイントとして

機械学習は幾何学的空間で動作します

データで機能するすべての機械学習モデルは、その中核では幾何学をしています。各データポイントは、N次元空間のポイントです。ここで、Nはそれを説明する機能（変数）の数です。

スクエアフッテージ、寝室の数、ダウンタウンまでの距離で説明される家は、3D空間のポイントです。10,000ピクセル値で説明される医療画像は、10,000次元空間のポイントです。次元の数に関係なく、数学は同じように機能します。

分類は、クラスを分離する幾何学的境界を見つけています。サポートベクターマシン（SVM）は、文字通り、最広可能な余白でデータの2つのクラスを分離するハイパープレーンを見つけます—それらの間で最も広い「通り」。このボーダーに最も近いデータポイントはサポートベクトルと呼ばれ、境界がどこに行くかを実際に決定する唯一のポイントです。

ワード埋め込みとベクトル算術

空間内のポイントとしての単語

機械学習における幾何学の最も驚くべき応用の1つはワード埋め込みです。Word2Vecおよびモダンな言語モデルなどのシステムは、すべての単語を高次元空間のポイントにマッピングします（通常300から1,000次元）。

意味が似ている単語は幾何学的に互いに近い場所で終わります。「犬」は「子犬」と「カナイン」に近いです。「フランス」は「ドイツ」と「スペイン」に近いです。

さらに注目すべきことに：このスペースの方向は関係をエンコードします。有名な例：

vector('king') - vector('man') + vector('woman') ≈ vector('queen')

これは純粋なベクトル幾何学です。「男」から「王」への方向は、「女」から「女王」への方向と約同じです—両方「王族」の概念をエンコードしています。機械学習モデルは、王族が何を意味するかを教えられることなく、テキストを読むことからこの幾何学的構造を発見しました。

ハイパープレーンとマージン

サポートベクターマシンは、機械学習における幾何学の最も明確な例の1つです。

大円とGPS

球上の最短パスは直線ではありません

平坦な表面では、2つのポイント間の最短パスは直線です。球体では、最短パスは大円弧です—球体の中心が中心である円に沿った曲線。

これは、ニューヨークからトウキョウへのフライトが北極を飛ぶ理由です。平坦なメルカトル地図では、このルートは北に向かって不合理に見えます。しかし、地図は歪んでいます—極を拡張して長方形を埋めます。地球の実際の球では、北極ルートが短くなります。

すべての経度線は大円です。赤道は大円です。しかし、緯度線（赤道を除く）は大円ではありません—それらはより小さな円であり、それらに沿って飛ぶことは最短パスではありません。

GPSトライアンギュレーションは異なる球面幾何学を使用します。各GPSサテライトは位置と時間をブロードキャストします。受信機は各衛星への距離を計算します（光速を使用）。1つの衛星は可能な位置の球を与えます。2つの衛星は2つの球が交差する円を与えます。3つの衛星は2つのポイント—1つは通常は不合理です（宇宙の奥深く）ので、あなたは位置を取得します。4番目の衛星時計エラーを修正します。

なぜフライトが地図上でカーブしますか

航空会社とパイロットは燃料を浪費するために曲線ルートを飛びません。彼らは可能な限り最短経路を飛びます。

幾何学的寸法および許容量

GD&T—完璧への近さはどのくらい十分ですか？

製造されたパーツは幾何学的に完璧ではありません。25.000 mmとして指定された軸は、旋盤から25.007 mmまたは24.993 mmで出てきます。問題は：許容される偏差はどのくらいですか？

幾何学的寸法および許容量（GD&T）は幾何学的精度でこれに答えます。単に「25 mm加えて-マイナス0.013 mm」と言う代わりに、GD&Tは許容ゾーンを定義します—すべての実際のサーフェス上のポイントが存在しなければならない幾何学的領域。

許容ゾーンは円柱（シャフト用）、一対の平行平面（平坦な表面用）、またはコーン（テーパー機能用）である可能性があります。ゾーンの形状は、機能的に重要なものに依存します：丸さ、平坦さ、垂直性、同心性。

これは純粋な応用幾何学です。GD&T図面を読む機械工は幾何学的制約を解釈しています—この表面は完全な平面の0.01 mm以内ですか？このホールの軸はデータム表面に対して垂直で0.05 mm以内ですか？すべての許容値は幾何学的な質問です。

応力集中と幾何学

なぜ幾何学は物事が壊れる場所を決定するのか

力が材料を流れるとき、それは幾何学的なパスに従います。滑らかで均一な断面では、応力は均等に分布します。しかし、幾何学的不連続—ホール、ノッチ、鋭い角—応力をその点に集中します。

応力集中係数は完全に幾何学に依存します。張力下のプレートの小さな円形穴は、その端で公称応力の3倍を経験します。鋭いV字ノッチは、角度に応じて、応力を5x、10x、またはそれ以上に集中できます。

これが航空機の窓が長方形ではなく楕円形である理由です。デ・ハビランド・コメット—世界初の商用ジェット旅客機—は正方形の窓がありました。1954年に、2つのコメットが飛行中に分散しました。調査により、金属疲労ひび割れが窓の鋭い角で開始されたことが明らかになりました。反復加圧サイクルでアルミニウムが耐えることができるレベルをはるかに超えるストレスが集中していた場所です。

修正は幾何学的でした：角を丸めます。楕円形の窓は周囲の周囲に応力を滑らかに分散し、鋭い集中ポイントはありません。それ以来、すべての商用航空機が楕円形または丸められた長方形の窓を使用しています。幾何学は56人を殺しました。幾何学もソリューションを提供しました。

コメット災害

デ・ハビランド・コメット災害は航空機の設計を永遠に変えました。

スレッドを接続する

普遍的な言語

私たちがカバーしたものを見てください：

建築はビデオゲーム内の3Dメッシュを硬くするのと同じ剛性三角形を使用します。

コンピュータグラフィックスはロボット工学が機械腕を配置するために使用するのと同じマトリックス変換を使用します。

機械学習は工学最適化が設計スペースを分離するために使用するのと同じハイパープレーンを使用します。

ナビゲーションは建築家がドームとプラネタリウムを設計するときに使用するのと同じ球面幾何学を使用します。

エンジニアリングはバイオメカニックスが骨折を理解するために使用するのと同じ応力分析を使用します。

幾何学は同じです。アプリケーションは異なります。三角形は橋を保持していようが、ドラゴンをレンダリングしていようが、剛性です。ハイパープレーンは、スパムメールを分類しているか、翼型形状を最適化しているかに関わらず、クラスを分離します。

これが幾何学が応用数学で最も強力なツールの1つである理由です—これは科学とエンジニアリングのあらゆる分野全体で問題について推論するための視覚的、空間的、厳密な方法を提供します。

あなたの受け取り

私たちは建築、コンピュータグラフィックス、機械学習、ナビゲーション、およびエンジニアリングにおける幾何学を探索しました。