海森堡：从可观测量开始
1925年，沃纳·海森堡采取了激进的方法论立场：他将使用只能直接测量的量来建立理论——谱线频率和强度。他不会推测无法观察的电子轨道。
谱线成对出现：在从能级m向能级n的跃迁中发射的光子具有频率ν(m,n)。海森堡将这些频率表示为二维数组——矩阵。支配这些数组如何组合的方程恰好是矩阵乘法的规则。
结果：矩阵力学。物理可观测量变成矩阵。状态变成向量。运动方程是矩阵方程。氢原子的能级显现为哈密顿矩阵的本征值。
哈明的框架：海森堡的方法是科学方法的一堂课——如果一个概念无法测量，也许它就不应该出现在理论中。
薛定谔：从波开始
埃尔温·薛定谔从完全不同的起点出发。路易·德布罗意提议粒子有一个相关的波长λ = h/p（动量p，普朗克常数h）。薛定谔问道：如果电子是波，波方程是什么？
他发现了薛定谔方程（时间独立形式）：
Ĥψ = Eψ
其中Ĥ是哈密顿算子，ψ是波函数，E是能量。满足该方程在特定能值E处的解ψ形成驻波——电子'轨道'。
能级的量化——离散的谱线——来自波函数的边界条件。只有在任何地方都保持有限且连续的波函数才是物理的。这些约束条件只允许特定的E值：本征值。
数学统一
保罗·狄拉克（以及独立地冯·诺依曼）表明矩阵力学和波动力学都是同一抽象数学结构的表示：希尔伯特空间。
希尔伯特空间H是一个内积空间，也是完全的（每个柯西序列都收敛）。量子态是H中的单位向量。可观测量是H上的厄米算子——从H到H的线性映射，等于其自身的伴随。
本征值和本征态： 如果可观测量Â有本征态|a⟩和本征值a：
Â|a⟩ = a|a⟩
对处于本征态|a⟩的系统测量可观测量A总是以确定性返回值a。
叠加： 一般状态|ψ⟩是本征态的线性组合（叠加）：
|ψ⟩ = Σᵢ cᵢ|aᵢ⟩
其中cᵢ是复振幅，满足Σᵢ |cᵢ|² = 1（归一化）。
玻恩规则
马克斯·玻恩提议了概率解释：当在状态|ψ⟩ = Σᵢ cᵢ|aᵢ⟩的系统上测量可观测量A时，获得本征值aᵢ的概率等于其振幅的平方模：
P(aᵢ) = |cᵢ|² = |⟨aᵢ|ψ⟩|²
测量后，状态坍缩到相应的本征态|aᵢ⟩。后续对A的测量将以确定性返回aᵢ，直到系统再次演化。
计算基中的量子比特状态：|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩，满足|α|² + |β|² = 1。
哈明作为数学顾问
哈明描述了他与物理学家合作时的角色：他会通过询问物理学家认为什么是相关的，然后将数学问题与他们的信念相匹配，来找到要使用的数学函数类。
> 我通常通过询问有问题的人来找到要使用的函数类，然后使用他们认为相关的事实——一切都是希望我因此有一天能对他们产生重大洞察。
这是一个有意的教学策略。哈明没有强加数学框架——他引出了物理学家的直觉并将其形式化。目标：物理学家做出洞察，而不是哈明。
更深层的教训：量子力学在哲学上令人不满意（波函数坍缩意味着什么？量子态真正是什么？）但在计算上成功。权当原则：把形式主义看作是真实的——当它给出正确的预测时，就把它当作好像状态向量、算子和本征值是世界的实际特征——无论你是否能解释它意味着什么。
什么时候权当原则是合理的
权当原则不是智力懒惰。这是一个具体的认识论选择：当两者相分离时，优先考虑计算可靠性而不是形而上学的清晰性。
量子力学提供了最清晰的例子：玻恩规则已被实验验证到非凡的精度。为什么玻恩规则成立的哲学问题，或者'波函数坍缩'在物理上对应什么，仍然真正未解决。哈明的处方：使用玻恩规则，权当坍缩发生，构建技术，做出预测。