მათემატიკური একიანობა

პოლ დირაკმა (და დამოუკიდებელი ფონ ნეიმანმა) აღმოჩინა, რომ როგორც მატრიცული მექანიკა, ისე ტალღური მექანიკა წარმოადგენს ერთნაერთი აბსტრაქტული მათემატიკური სტრუქტურის წარმოთქმებს: ჰილბერტის სივრცე.

ჰილბერტის სივრცე H არის შიდა პროდუქტის სივრცე, რომელიც ასევე სრულია (ყველა Cauchy მიმდევრობა ConverG დეება). კვანტური მდგომარეობები არის ერთეული ვექტორები H-ში. დაკვირვებული სიდიდეები არის ჰერმიტული ოპერატორები H-ზე — წრფივი რუკები H-დან H-მდე, რომელიც ტოლია მათი საკუთრო მიმდევარი.

საკუთრო მნიშვნელობები და საკუთრო მდგომარეობები: თუ დაკვირვებული სიდიდე Â აქვს საკუთრო მდგომარეობა |a⟩ საკუთრო მნიშვნელობით a:

Â|a⟩ = a|a⟩

დაკვირვება დაკვირვებული A ხელოვნების სისტემაზე საკუთრო მდგომარეობაში |a⟩ ყოველთვის აბრუნებს მნიშვნელობას a სიცხადით.

სუპერპოზიცია: ზოგადი მდგომარეობა |ψ⟩ არის წრფივი კომბინაცია (სუპერპოზიცია) საკუთრო მდგომარეობებიდან:

|ψ⟩ = Σᵢ cᵢ|aᵢ⟩

სადაც cᵢ რთული ამპლიტუდებია, რომელიც აკმაყოფილებს Σᵢ |cᵢ|² = 1 (ნორმალიზაცია).

Born წესი

მაქს ბორნმა შემოთავაზა ალბათობის ინტერპრეტაცია: როდესაც დაკვირვებული A იზომება სისტემაზე მდგომარეობაში |ψ⟩ = Σᵢ cᵢ|aᵢ⟩, საკუთრო მნიშვნელობის aᵢ დაკვირვების ალბათობა ტოლია მისი ამპლიტუდის კვადრატული მოდულის:

P(aᵢ) = |cᵢ|² = |⟨aᵢ|ψ⟩|²

მზომვის შემდეგ, მდგომარეობა დანგრევა შესაბამის საკუთრო მდგომარეობაში |aᵢ⟩. შემდგომი იზომვები A-ს აბრუნებენ aᵢ-ს სიცხადით, სანამ სისტემა კვლავ ევოლუციონირებს.

კვბიტის მდგომარეობა გამოთვლის საფუძველზე: |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩, რომელშიც |α|² + |β|² = 1.

ჰამინგი როგორც მათემატიკური კონსულტანტი

ჰამინგი აღწერდა თავის ფუნქციას, როდესაც ფიზიკოსებთან მუშაობდა: მან იპოვიდა მათემატიკური ფუნქციების კლასი, რომელიც უნდა გამოენახ ფიზიკოსს, რა თვლიდა მნიშვნელოვანს, შემდეგ მათემატიკური პრობლემა მორგებდა მათ რწმენაზე.

> ჩვენ ზოგადად ვპოულობთ გამოიყენებელი ფუნქციების კლასს კითხვით პირი ის რა აქვს პრობლემა, შემდეგ გამოვიყენებთ ფაქტებს, რომელიც ისინი თვლიან რელევანტურ — ყველაფერი იმაში იმედი, რომ თქვენი მხრიდან, კიდევ როდის, ჩემი ინსაიტი აწარმოებ მათ პირ მხრიდან.

ეს არის მიზანმიმართული პედაგოგიური სტრატეგია. ჰამინგი არ დააკისრა მათემატიკური ჩარჩო — ის აღეკვავ ფიზიკოსის ინტუიციას და დაფორმა მათ. მიზანი: ფიზიკოსი გამოიკვლევ ინსაიტი, არა ჰამინგი.

ღრმა გაკვეთილი: კვანტური მექანიკა არის ფილოსოფიურად დაუკმაყოფილებელი (რას ნიშნავს ტალღის ფუნქციის კოლაფსი? რა არის კვანტური მდგომარეობა მართლიდან?) მაგრამ გამოთვლებით წარმატებული. მოქმედი-თითქოს პრინციპი: გამოიყენეთ ფორმალიზმი როგორც რეალური — გამოიყენეთ იგი თითქოს სახელმწიფო ვექტორები, ოპერატორები, და საკუთრო მნიშვნელობები არის სამეწამიდან ფაქტები — როდესაც ის აძლევს სწორ პროგნოზებს, მიუხედავად იმისა, თუ თქვენ შეიძლება ახსნა რა ნიშნავს მნიშვნელობა.

როდის არის მოქმედი-თითქოს გამართებული

მოქმედი-თითქოს პრინციპი არ არის ინტელექტუალური ზიზღი. ეს არის კონკრეტული ეპისტემიკური არჩევანი: მოთხოვნა გამოთვლებით სანდოობის პრიორიტეტი მეტაფიზიკური სიცხადის ზე, როდესაც ორი დაშორდა.

კვანტური მექანიკა აწვდის ყველაზე პირდაპირი მაგალითი: Born წესი გადამოწმდა ექსპერიმენტულად გამოუცხადებელი სიზუსტით. მას კითხვა Born წესი რატომ აკმაყოფილებს, ან რა 'ტალღის ფუნქციის კოლაფსი' პიროვნებით კორესპონდ, რჩება პირადი უმეცობა. ჰამინგის პროსკრიპტივი: გამოიყენეთ Born წესი, მოქმედი თითქოს კოლაფსი ხდება, აშენეთ ტექნოლოგია, გამოიკვლევ პროგნოზებს.