Heisenberg: Bắt Đầu từ Các Đại Lượng Quan Sát được
Năm 1925, Werner Heisenberg áp dụng một lập trường phương pháp luận triệt để: ông sẽ xây dựng một lý thuyết chỉ sử dụng các đại lượng có thể đo lường trực tiếp — tần số & cường độ đường quang phổ. Ông sẽ không đoán định về quỹ đạo electron không thể quan sát được.
Các đường quang phổ xuất hiện từng cặp: một photon phát ra trong quá trình chuyển tiếp từ mức năng lượng m đến mức n có tần số ν(m,n). Heisenberg biểu diễn các tần số này dưới dạng một mảng hai chiều — một ma trận. Các phương trình chi phối cách các mảng này kết hợp hóa ra là các quy tắc nhân ma trận.
Kết quả: cơ học ma trận. Các đại lượng vật lý quan sát được trở thành ma trận. Các trạng thái trở thành vector. Phương trình chuyển động là một phương trình ma trận. Các mức năng lượng của nguyên tử hydro xuất hiện dưới dạng giá trị riêng của ma trận Hamilton.
Cách Hamming đặt khung vấn đề: cách tiếp cận của Heisenberg là một bài học trong phương pháp khoa học — nếu một khái niệm không thể được đo lường, có lẽ nó không nên xuất hiện trong lý thuyết.
Schrödinger: Bắt Đầu từ Sóng
Erwin Schrödinger tiếp cận từ một điểm khởi đầu hoàn toàn khác. Louis de Broglie đã đề xuất rằng các hạt có bước sóng liên quan λ = h/p (động lượng p, hằng số Planck h). Schrödinger hỏi: nếu electron là sóng, phương trình sóng là gì?
Ông tìm thấy phương trình Schrödinger (dạng không phụ thuộc thời gian):
Ĥψ = Eψ
trong đó Ĥ là toán tử Hamilton, ψ là hàm sóng, & E là năng lượng. Các lời giải ψ thỏa mãn phương trình này tại các giá trị năng lượng cụ thể E tạo thành sóng dừng — các 'quỹ đạo' electron.
Sự lượng tử hóa các mức năng lượng — các đường quang phổ rời rạc — xuất hiện từ các điều kiện biên trên hàm sóng. Chỉ các hàm sóng không bị chặn & liên tục ở mọi nơi mới là vật lý. Những ràng buộc này chỉ cho phép các giá trị E cụ thể: giá trị riêng.
Thống Nhất Toán Học
Paul Dirac (& độc lập là von Neumann) đã chỉ ra rằng cả cơ học ma trận & cơ học sóng đều là biểu diễn của cùng một cấu trúc toán học trừu tượng: không gian Hilbert.
Không gian Hilbert H là một không gian tích trong cũng hoàn chỉnh (mọi dãy Cauchy hội tụ). Các trạng thái lượng tử là vector đơn vị trong H. Các đại lượng quan sát được là các toán tử Hermitian trên H — các ánh xạ tuyến tính từ H đến H bằng với liên hợp chuyển vị của chúng.
Giá trị riêng & trạng thái riêng: nếu đại lượng quan sát được  có trạng thái riêng |a⟩ với giá trị riêng a:
Â|a⟩ = a|a⟩
Phép đo đại lượng quan sát được A trên hệ thống ở trạng thái riêng |a⟩ luôn trả về giá trị a với chắc chắn.
Chồng chập: một trạng thái chung |ψ⟩ là kết hợp tuyến tính (chồng chập) của các trạng thái riêng:
|ψ⟩ = Σᵢ cᵢ|aᵢ⟩
trong đó các cᵢ là biên độ phức thỏa mãn Σᵢ |cᵢ|² = 1 (chuẩn hóa).
Quy Tắc Born
Max Born đề xuất cách giải thích xác suất: khi đại lượng quan sát được A được đo trên hệ thống ở trạng thái |ψ⟩ = Σᵢ cᵢ|aᵢ⟩, xác suất nhận được giá trị riêng aᵢ bằng mô đun bình phương của biên độ của nó:
P(aᵢ) = |cᵢ|² = |⟨aᵢ|ψ⟩|²
Sau khi đo, trạng thái suy sụp thành trạng thái riêng tương ứng |aᵢ⟩. Các phép đo tiếp theo của A sẽ trả về aᵢ với chắc chắn cho đến khi hệ thống tiến hóa lại.
Trạng thái qubit ở cơ sở tính toán: |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩, với |α|² + |β|² = 1.
Hamming như một Cố Vấn Toán Học
Hamming mô tả vai trò của ông khi làm việc với các nhà vật lý: ông sẽ tìm ra lớp các hàm toán học để sử dụng bằng cách hỏi nhà vật lý cái gì mà họ cảm thấy là liên quan, sau đó điều chỉnh bài toán toán học theo niềm tin của họ.
> Tôi thường tìm ra lớp hàm để sử dụng bằng cách hỏi người có vấn đề, & sau đó sử dụng các sự kiện mà họ cảm thấy là liên quan — tất cả với hy vọng rằng tôi sẽ do đó, một ngày nào đó, tạo ra một hiểu biết quan trọng từ phía họ.
Đây là một chiến lược sư phạm có chủ đích. Hamming không áp dụng một khung toán học — ông khôi dậy các trực giác của nhà vật lý & chính thức hóa chúng. Mục tiêu: nhà vật lý đưa ra hiểu biết, không phải Hamming.
Bài học sâu hơn: cơ học lượng tử không thỏa mãn triết học (sự suy sụp hàm sóng có nghĩa là gì? trạng thái lượng tử thực sự là gì?) nhưng thành công về mặt tính toán. Nguyên tắc hành động như thể: coi chính thức hóa là thực tế — sử dụng nó như thể vector trạng thái, toán tử, & giá trị riêng là những đặc điểm thực tế của thế giới — khi nó đưa ra dự đoán chính xác, bất kể bạn có thể giải thích có nghĩa là gì hay không.
Khi Hành Động Như Thể Được Biện Minh
Nguyên tắc hành động như thể không phải là sự lười biếng về mặt trí tuệ. Nó là một lựa chọn nhận thức cụ thể: ưu tiên độ tin cậy tính toán hơn sự rõ ràng siêu hình học khi hai cái tách rời.
QM cung cấp ví dụ rõ ràng nhất: quy tắc Born đã được xác minh thực nghiệm với độ chính xác phi thường. Câu hỏi triết học của tại sao quy tắc Born giữ, hoặc cái gì tương ứng với 'sự suy sụp hàm sóng' về mặt vật lý, vẫn còn thực sự chưa được giải quyết. Đề xuất của Hamming: sử dụng quy tắc Born, hành động như thể suy sụp xảy ra, xây dựng công nghệ, thực hiện các dự đoán.