Flatland 類比
Edwin Abbott 的《Flatland》（1884）：二維平面上的居民。他們只能感知長度與寬度。深度——位於他們上方的第三維度——對他們而言是不可見的。他們無法感知、無法使用，也無法用它來建造。世界的幾何結構包含一個他們在結構上捨棄的維度。
MOAD-0007 的運作方式與此相同。三維空間中的物件帶有位置、旋轉與邊界體積：這是一種豐富的幾何結構。線性掃描卻將它們視為一張平面清單。空間結構存在，卻未被使用、被捨棄。每一次交集測試都必須掃描整個清單，彷彿這些物件沒有幾何也沒有位置。
Three.js 範例
Three.js Raycaster.intersectObjects()：給定一條射線（3D 空間中的位置與方向），找出所有與該射線相交的物件。其實作方式是：逐一迭代場景中的 N 個物件，對每個物件進行射線測試。每次呼叫的時間複雜度為 O(N)。
一個 hover 事件處理函式每秒以 60 幀的頻率呼叫 intersectObjects()。當 N=100 個物件時，每秒進行 6,000 次交集測試；當 N=10,000 個物件時，每秒進行 600,000 次測試。成本與 N 成正比，而非與射線實際交集的物件數量成正比。
當 N=100 時：幾乎感覺不到。60fps 下的 16.7ms 畫面預算足以吸收這項成本而不會有任何抱怨。
當 N=10,000 時：成為主要負擔。600,000 次交集測試每秒佔滿主執行緒，導致畫面幀率下降。原本在 N=100 時運作順暢的場景，會在 N 跨越門檻時悄然崩潰。
線性掃描所丟棄的結構
物件在空間中佔有位置。一個位於 (1000, 0, 0) 的物件，不可能與從 (0, 0, 0) 朝 (-1, 0, 0) 方向發出的射線相交：該物件位於相反方向。線性掃描仍會對它進行檢查。
物件具有邊界體積：一個包圍整個物件的球體或盒子。若射線未與物件的邊界體積相交，則不可能與該物件本身相交。線性掃描仍會執行完整的交集測試。
幾何結構編碼了哪些物件可以跳過。線性掃描卻忽略了這項幾何資訊。這就是所謂的「丟棄」。
「捨棄結構」的意義
Flatland 比喻：Abbott 的居民無法感知深度。Flatland Defect 會捨棄資料中原本存在的幾何結構，而演算法從未接觸到這些結構。
為什麼雜湊集合無法解決 MOAD-0007
MOAD-0001 修正：將循序成員測試替換為雜湊集合。list.contains(x)：O(N)。set.has(x)：O(1)。成員測試問題：「x 是否存在於此集合中？」不涉及空間幾何。
MOAD-0007 修正：將線性空間掃描替換為空間索引（BVH、八叉樹、k-d 樹、R 樹）。空間問題：「此集合中哪些物件與此射線／球體／視錐體相交？」需要空間鄰近性。
雜湊集合回答成員問題：「此精確物件是否存在？」O(1)。它無法回答鄰近問題：「哪些物件靠近此射線？」雜湊集合沒有距離或空間範圍的概念。雜湊會徹底捨棄幾何資訊，就像線性掃描一樣。
BVH 回答鄰近問題：「哪些物件落在此空間查詢範圍內？」O(log N + k)。它依據位置組織物件，因此鄰近查詢會跳過幾何上遙遠的物件。
| 問題 | 正確結構 | 錯誤結構 |
|---|---|---|
| 物件 X 是否在此集合中？ | HashSet (O(1)) | 線性列表 (O(N)) |
| 哪些物件與此射線相交？ | BVH/八叉樹/k-d 樹 (O(log N)) | 線性掃描或 HashSet (O(N) 或 O(N)) |
MOAD-0001 與 MOAD-0007：兩者皆為 O(N) 操作，改用更快的演算法。因為問題不同，所以需要不同的資料結構。
何時建立、何時略過
建立 BVH 的成本為 O(N log N)，查詢成本為 O(log N + k)。當查詢次數足夠多，使得查詢節省的時間超過建立成本時，即達到平衡點。
當 N=100 時：線性掃描只需數微秒。BVH 的建立反而增加額外開銷。此時應略過 BVH。
當 N=10,000 且以 60Hz 執行時：線性掃描會佔用大部分的畫面時間。BVH 查詢成本僅為線性掃描的 1/1,000。建立一次 BVH，每秒查詢 60 次。平衡點在第一個畫面之前即已達到。
規則：當 N * Q > N log N 時建立 BVH，其中 Q 為每次重建週期內的查詢次數。對於互動式 3D 場景：Q = 每秒 60 次，N 的門檻約為數百個物件。
診斷與修復 3D 場景
某 3D 視覺化應用程式渲染 5,000 個幾何物件。滑鼠懸停事件每秒觸發 60 次。每次懸停事件發生時，處理函式呼叫 scene.intersectObjects(ray, objects)，此函式會遍歷全部 5,000 個物件並逐一進行射線測試。畫面更新率從 60fps 下降至 8fps。
一位隊友建議：「將所有物件放入 Set 以達到 O(1) 查找。」