パリティチェック行列
GF(2)上のすべての線形符号（0と1だけの体、演算はmod 2）はパリティチェック行列Hを持ちます。（7,4）ハミング符号の場合、Hは3×7行列で、その列は1から7の二進表現です：
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H = [ 0 0 0 1 1 1 1 ] ← 位置番号のビット 2
[ 0 1 1 0 0 1 1 ] ← 位置番号のビット 1
[ 1 0 1 0 1 0 1 ] ← 位置番号のビット 0
``
Hの列jはjの二進表現です。これがシンドローム s = Hr が誤りの位置を直接指す理由です。
写像 H: GF(2)^7 → GF(2)^3 は線形写像です（mod 2での行列乗算）。その核 ker(H) = { r : Hr = 0 } はちょうど有効な符号語の集合です。
次元計数：dim(ker H) = 7 − rank(H) = 7 − 3 = 4。したがって 2^4 = 16 個の符号語があります。これは4メッセージビットを確認します。
カーネルとしての符号
単語 c ∈ {0,1}^7 が有効な符号語であるのは、Hc = 0 (mod 2) の場合のみです。これが線形符号の定義方程式です。
例：c = 0011001。Hc mod 2 を確認：
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行 1: 0·0+0·0+0·1+1·1+1·0+1·0+1·1 = 0+0+0+1+0+0+1 = 2 ≡ 0
行 2: 0·0+1·0+1·1+0·1+0·0+1·0+1·1 = 0+0+1+0+0+0+1 = 2 ≡ 0
行 3: 1·0+0·0+1·1+0·1+1·0+0·0+1·1 = 0+0+1+0+0+0+1 = 2 ≡ 0
``
Hc = 000。したがって 0011001 は有効な符号語です。
符号の余集合
符号語 C = ker(H) は GF(2)^7 の部分群を形成します。GF(2)^7 の他のすべての単語は、C の正確に1つの余集合に属します。
余集合の定義：任意の単語 e について、余集合 C + e = { c + e : c ∈ C }。
2つの単語が同じ余集合に属するのは、その差が符号語である場合のみです。同等に、同じシンドロームを持つ場合のみです：H(r₁) = H(r₂) ⟺ H(r₁ − r₂) = 0 ⟺ r₁ − r₂ ∈ C。
シンドローム写像 H は同型写像 GF(2)^7 / C ≅ GF(2)^3 を誘導します。|C| = 16 & |GF(2)^7| = 128 で：正確に 128/16 = 8 個の余集合があり、GF(2)^3 の各シンドローム値に1つずつ対応します。
標準配列：余集合ごとに1つの余集合リーダーをリストします。その余集合の最小ハミング重みを持つ単語。単一誤り訂正の場合、各ゼロ以外のシンドロームは一意に重み1の誤りパターン（7つの位置のいずれかの単一1）に対応します。これが7つの誤りパターン + 1つのエラーなし = 8つの余集合 = 2^3 である理由です。
余集合リーダーによる復号
復号アルゴリズム：r を受け取る → s = Hr を計算 → 余集合リーダー e_s（シンドローム s の標準誤り）を検索 → r − e_s = r + e_s を出力（GF(2) では同じ）。
（7,4）符号の場合、8つの余集合リーダーは：0000000（シンドローム 000）、1000000（シンドローム 001）、0100000（シンドローム 010）、0010000（シンドローム 011）、0001000（シンドローム 100）、0000100（シンドローム 101）、0000010（シンドローム 110）、0000001（シンドローム 111）。
（7,4）が完全である理由
最小距離3を持つ符号 C ⊆ GF(2)^n はすべての単一誤りを訂正します。各符号語 c は半径1のハミング球を持ちます：中心 c とその n 個の直近の隣人（重み1の誤りパターン）。球の体積 = 1 + n。
n = 7 の場合：球の体積 = 8。16 個の符号語を持つ：16 × 8 = 128 = 2^7。球は GF(2)^7 を完全にタイリングします。カバーされないポイントがなく、2回カバーされるポイントもありません。
これが完全符号の定義です：M · Vol(n, t) = 2^n。完全単一誤り訂正符号（t=1）は特定のパラメータに対してのみ存在します：（7,4）、（15,11）、（23,12）（二進ゴレイ符号）、& 自明に n = 2^r − 1、k = n − r（任意の r ≥ 2）。
幾何学：GF(2)^7 は、余集合分割として符号の作用の下で正確に8つの軌道に分解します。各軌道は余集合です。各余集合は一意のシンドロームを持ちます。シンドローム写像 H は余集合から GF(2)^3 への全単射です。
計数論証
n = 2^r − 1 ビット上の完全単一誤り訂正符号で r パリティチェックビットを持つ場合：
- 符号語の数：M = 2^k = 2^(n−r)
- 球の体積：Vol(n, 1) = 1 + n = 1 + 2^r − 1 = 2^r
- 総カバー：M × Vol = 2^(n−r) × 2^r = 2^n ✓
n = 2^r − 1 のときに Vol(n,1) = 2^r である事実が、これらの長さで完全符号を可能にします。他の長さでは、1 + n は2の累乗ではなく、完全単一誤り訂正二進符号は存在できません。
生成行列 & 双対性
パリティチェック行列 H はカーネルを介して符号を定義します。その双対：行が ker(H) の基底を形成する生成行列 G。
（7,4）符号の場合：G は 4×7 行列です。任意の符号語 c = mG（メッセージベクトル m ∈ GF(2)^4）。G の行は符号をスパンします。H の行は符号の零空間をスパンします。
主要な関係：HG^T = 0 (mod 2)。G のすべての行は ker(H) にあります。H のすべての行は G のすべての行を消滅させます。
双対符号：C⊥ = ker(G^T) = image(H^T)。（7,4）符号の場合、双対は（7,3）符号です。つまり、最小距離4を持つ [7,3,4] 符号です。
双対性の幾何学：C & C⊥ は GF(2)^7 の直交部分空間です。空間全体は符号、その余集合、& シンドローム写像がエンコードする双対構造に分解されます。